Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25765 / 24836
↖ ↑ ↗
← S 67.625954°
E103.062744°		 ← 465.02 m → S 67.625954°
E103.073731°		 →
↑
465.02 m
↓
↑
465.02 m
↓
S 67.630136°
E103.062744°		 ← 464.94 m →
216 224 m²		 S 67.630136°
E103.073731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786300659179688 y=0.757949829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786300659179688 × 215)
    floor (0.786300659179688 × 32768)
    floor (25765.5)     		tx = 25765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757949829101562 × 215)
    floor (0.757949829101562 × 32768)
    floor (24836.5)     		ty = 24836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25765 / 24836 ti = "15/25765/24836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25765/24836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25765 ÷ 215
    25765 ÷ 32768     		x = 0.786285400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24836 ÷ 215
    24836 ÷ 32768     		y = 0.7579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786285400390625 × 2 - 1) × π
    0.57257080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79878422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7579345703125 × 2 - 1) × π
    -0.515869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62065070235486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79878422} λ = 1.79878422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62065070235486))-π/2
    2×atan(0.197769967821507)-π/2
    2×0.195250381464166-π/2
    0.390500762928331-1.57079632675     		φ = -1.18029556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79878422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.062744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18029556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.625954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25765 KachelY 24836 1.79878422 -1.18029556 103.062744 -67.625954
    Oben rechts KachelX + 1 25766 KachelY 24836 1.79897597 -1.18029556 103.073731 -67.625954
    Unten links KachelX 25765 KachelY + 1 24837 1.79878422 -1.18036855 103.062744 -67.630136
    Unten rechts KachelX + 1 25766 KachelY + 1 24837 1.79897597 -1.18036855 103.073731 -67.630136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18029556--1.18036855) × R
    7.29900000000505e-05 × 6371000     		dl = 465.019290000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18029556--1.18036855) × R
    7.29900000000505e-05 × 6371000     		dr = 465.019290000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79878422-1.79897597) × cos(-1.18029556) × R
    0.000191750000000157 × 0.380651531179853 × 6371000     		do = 465.018851062289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79878422-1.79897597) × cos(-1.18036855) × R
    0.000191750000000157 × 0.380584034958385 × 6371000     		du = 464.936395028916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18029556)-sin(-1.18036855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380651531179853-0.380584034958385)×R²
    abs(1.79897597-1.79878422)×6.74962214685659e-05×R²
    0.000191750000000157×6.74962214685659e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.74962214685659e-05×40589641000000     		ar = 216223.564230487m²