Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2576 / 457
↖ ↑ ↗
← N 80.042864°
E 46.406250°		 ← 1 689.86 m → N 80.042864°
E 46.494141°		 →
↑
1 691.18 m
↓
↑
1 691.18 m
↓
N 80.027655°
E 46.406250°		 ← 1 692.42 m →
2 860 022 m²		 N 80.027655°
E 46.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6290283203125 y=0.1116943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6290283203125 × 212)
    floor (0.6290283203125 × 4096)
    floor (2576.5)     		tx = 2576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1116943359375 × 212)
    floor (0.1116943359375 × 4096)
    floor (457.5)     		ty = 457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2576 / 457 ti = "12/2576/457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2576/457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2576 ÷ 212
    2576 ÷ 4096     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 457 ÷ 212
    457 ÷ 4096     		y = 0.111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111572265625 × 2 - 1) × π
    0.77685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4405634334563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4405634334563))-π/2
    2×atan(11.4795068592369)-π/2
    2×1.48390392095357-π/2
    2.96780784190713-1.57079632675     		φ = 1.39701152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39701152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.042864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2576 KachelY 457 0.80994186 1.39701152 46.406250 80.042864
    Oben rechts KachelX + 1 2577 KachelY 457 0.81147584 1.39701152 46.494141 80.042864
    Unten links KachelX 2576 KachelY + 1 458 0.80994186 1.39674607 46.406250 80.027655
    Unten rechts KachelX + 1 2577 KachelY + 1 458 0.81147584 1.39674607 46.494141 80.027655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39701152-1.39674607) × R
    0.000265449999999889 × 6371000     		dl = 1691.1819499993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39701152-1.39674607) × R
    0.000265449999999889 × 6371000     		dr = 1691.1819499993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81147584) × cos(1.39701152) × R
    0.00153397999999993 × 0.172911376336893 × 6371000     		do = 1689.86056046971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81147584) × cos(1.39674607) × R
    0.00153397999999993 × 0.173172821871163 × 6371000     		du = 1692.41566416753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39701152)-sin(1.39674607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172911376336893-0.173172821871163)×R²
    abs(0.81147584-0.80994186)×0.000261445534269877×R²
    0.00153397999999993×0.000261445534269877×6371000²
    0.00153397999999993×0.000261445534269877×40589641000000     		ar = 2860022.26729963m²