Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25743 / 24997
↖ ↑ ↗
← S 68.289716°
E102.821045°		 ← 451.90 m → S 68.289716°
E102.832031°		 →
↑
451.83 m
↓
↑
451.83 m
↓
S 68.293779°
E102.821045°		 ← 451.82 m →
204 165 m²		 S 68.293779°
E102.832031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785629272460938 y=0.762863159179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785629272460938 × 215)
    floor (0.785629272460938 × 32768)
    floor (25743.5)     		tx = 25743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762863159179688 × 215)
    floor (0.762863159179688 × 32768)
    floor (24997.5)     		ty = 24997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25743 / 24997 ti = "15/25743/24997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25743/24997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25743 ÷ 215
    25743 ÷ 32768     		x = 0.785614013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24997 ÷ 215
    24997 ÷ 32768     		y = 0.762847900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785614013671875 × 2 - 1) × π
    0.57122802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79456577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762847900390625 × 2 - 1) × π
    -0.52569580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65152206571017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79456577} λ = 1.79456577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65152206571017))-π/2
    2×atan(0.191757818386855)-π/2
    2×0.189457970308649-π/2
    0.378915940617299-1.57079632675     		φ = -1.19188039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79456577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.821045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19188039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.289716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25743 KachelY 24997 1.79456577 -1.19188039 102.821045 -68.289716
    Oben rechts KachelX + 1 25744 KachelY 24997 1.79475752 -1.19188039 102.832031 -68.289716
    Unten links KachelX 25743 KachelY + 1 24998 1.79456577 -1.19195131 102.821045 -68.293779
    Unten rechts KachelX + 1 25744 KachelY + 1 24998 1.79475752 -1.19195131 102.832031 -68.293779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19188039--1.19195131) × R
    7.09200000001964e-05 × 6371000     		dl = 451.831320001251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19188039--1.19195131) × R
    7.09200000001964e-05 × 6371000     		dr = 451.831320001251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79456577-1.79475752) × cos(-1.19188039) × R
    0.000191750000000157 × 0.369913520497303 × 6371000     		do = 451.900875745555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79456577-1.79475752) × cos(-1.19195131) × R
    0.000191750000000157 × 0.369847630192822 × 6371000     		du = 451.820381563406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19188039)-sin(-1.19195131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369913520497303-0.369847630192822)×R²
    abs(1.79475752-1.79456577)×6.58903044813419e-05×R²
    0.000191750000000157×6.58903044813419e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.58903044813419e-05×40589641000000     		ar = 204164.784386902m²