Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25741 / 24984
↖ ↑ ↗
← S 68.236823°
E102.799072°		 ← 452.95 m → S 68.236823°
E102.810059°		 →
↑
452.91 m
↓
↑
452.91 m
↓
S 68.240896°
E102.799072°		 ← 452.87 m →
205 129 m²		 S 68.240896°
E102.810059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785568237304688 y=0.762466430664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785568237304688 × 215)
    floor (0.785568237304688 × 32768)
    floor (25741.5)     		tx = 25741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762466430664062 × 215)
    floor (0.762466430664062 × 32768)
    floor (24984.5)     		ty = 24984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25741 / 24984 ti = "15/25741/24984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25741/24984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25741 ÷ 215
    25741 ÷ 32768     		x = 0.785552978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24984 ÷ 215
    24984 ÷ 32768     		y = 0.762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785552978515625 × 2 - 1) × π
    0.57110595703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79418228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.52490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64902934692993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79418228} λ = 1.79418228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64902934692993))-π/2
    2×atan(0.192236412955022)-π/2
    2×0.189919549717177-π/2
    0.379839099434353-1.57079632675     		φ = -1.19095723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79418228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.799072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19095723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.236823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25741 KachelY 24984 1.79418228 -1.19095723 102.799072 -68.236823
    Oben rechts KachelX + 1 25742 KachelY 24984 1.79437403 -1.19095723 102.810059 -68.236823
    Unten links KachelX 25741 KachelY + 1 24985 1.79418228 -1.19102832 102.799072 -68.240896
    Unten rechts KachelX + 1 25742 KachelY + 1 24985 1.79437403 -1.19102832 102.810059 -68.240896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19095723--1.19102832) × R
    7.10900000000514e-05 × 6371000     		dl = 452.914390000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19095723--1.19102832) × R
    7.10900000000514e-05 × 6371000     		dr = 452.914390000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79418228-1.79437403) × cos(-1.19095723) × R
    0.000191749999999935 × 0.370771039495761 × 6371000     		do = 452.948454611168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79418228-1.79437403) × cos(-1.19102832) × R
    0.000191749999999935 × 0.370705015548015 × 6371000     		du = 452.867797165162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19095723)-sin(-1.19102832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370771039495761-0.370705015548015)×R²
    abs(1.79437403-1.79418228)×6.6023947746241e-05×R²
    0.000191749999999935×6.6023947746241e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.6023947746241e-05×40589641000000     		ar = 205128.607649248m²