Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25740 / 24985
↖ ↑ ↗
← S 68.240896°
E102.788086°		 ← 452.87 m → S 68.240896°
E102.799072°		 →
↑
452.79 m
↓
↑
452.79 m
↓
S 68.244968°
E102.788086°		 ← 452.79 m →
205 034 m²		 S 68.244968°
E102.799072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785537719726562 y=0.762496948242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785537719726562 × 215)
    floor (0.785537719726562 × 32768)
    floor (25740.5)     		tx = 25740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762496948242188 × 215)
    floor (0.762496948242188 × 32768)
    floor (24985.5)     		ty = 24985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25740 / 24985 ti = "15/25740/24985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25740/24985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25740 ÷ 215
    25740 ÷ 32768     		x = 0.7855224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24985 ÷ 215
    24985 ÷ 32768     		y = 0.762481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7855224609375 × 2 - 1) × π
    0.571044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79399053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.52496337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64922109452841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79399053} λ = 1.79399053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64922109452841))-π/2
    2×atan(0.192199555618264)-π/2
    2×0.189884005653716-π/2
    0.379768011307432-1.57079632675     		φ = -1.19102832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79399053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.788086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19102832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.240896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25740 KachelY 24985 1.79399053 -1.19102832 102.788086 -68.240896
    Oben rechts KachelX + 1 25741 KachelY 24985 1.79418228 -1.19102832 102.799072 -68.240896
    Unten links KachelX 25740 KachelY + 1 24986 1.79399053 -1.19109939 102.788086 -68.244968
    Unten rechts KachelX + 1 25741 KachelY + 1 24986 1.79418228 -1.19109939 102.799072 -68.244968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19102832--1.19109939) × R
    7.10699999999509e-05 × 6371000     		dl = 452.786969999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19102832--1.19109939) × R
    7.10699999999509e-05 × 6371000     		dr = 452.786969999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79399053-1.79418228) × cos(-1.19102832) × R
    0.000191749999999935 × 0.370705015548015 × 6371000     		do = 452.867797165162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79399053-1.79418228) × cos(-1.19109939) × R
    0.000191749999999935 × 0.370639008302344 × 6371000     		du = 452.787160123066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19102832)-sin(-1.19109939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370705015548015-0.370639008302344)×R²
    abs(1.79418228-1.79399053)×6.60072456705185e-05×R²
    0.000191749999999935×6.60072456705185e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.60072456705185e-05×40589641000000     		ar = 205034.38207438m²