Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2574 / 1547
↖ ↑ ↗
← N 81.055714°
W123.442383°		 ← 379.87 m → N 81.055714°
W123.420410°		 →
↑
379.97 m
↓
↑
379.97 m
↓
N 81.052297°
W123.442383°		 ← 380.01 m →
144 364 m²		 N 81.052297°
W123.420410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157135009765625 y=0.094451904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157135009765625 × 214)
    floor (0.157135009765625 × 16384)
    floor (2574.5)     		tx = 2574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.094451904296875 × 214)
    floor (0.094451904296875 × 16384)
    floor (1547.5)     		ty = 1547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2574 / 1547 ti = "14/2574/1547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2574/1547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2574 ÷ 214
    2574 ÷ 16384     		x = 0.1571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1547 ÷ 214
    1547 ÷ 16384     		y = 0.09442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1571044921875 × 2 - 1) × π
    -0.685791015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15447602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09442138671875 × 2 - 1) × π
    0.8111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54832558380218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15447602} λ = -2.15447602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54832558380218))-π/2
    2×atan(12.7856773040697)-π/2
    2×1.49274270774776-π/2
    2.98548541549553-1.57079632675     		φ = 1.41468909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15447602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.442383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41468909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.055714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2574 KachelY 1547 -2.15447602 1.41468909 -123.442383 81.055714
    Oben rechts KachelX + 1 2575 KachelY 1547 -2.15409252 1.41468909 -123.420410 81.055714
    Unten links KachelX 2574 KachelY + 1 1548 -2.15447602 1.41462945 -123.442383 81.052297
    Unten rechts KachelX + 1 2575 KachelY + 1 1548 -2.15409252 1.41462945 -123.420410 81.052297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41468909-1.41462945) × R
    5.96399999999164e-05 × 6371000     		dl = 379.966439999468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41468909-1.41462945) × R
    5.96399999999164e-05 × 6371000     		dr = 379.966439999468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15447602--2.15409252) × cos(1.41468909) × R
    0.000383500000000314 × 0.155473967155339 × 6371000     		do = 379.866201260657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15447602--2.15409252) × cos(1.41462945) × R
    0.000383500000000314 × 0.155532881655793 × 6371000     		du = 380.010145792955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41468909)-sin(1.41462945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155473967155339-0.155532881655793)×R²
    abs(-2.15409252--2.15447602)×5.89145004543656e-05×R²
    0.000383500000000314×5.89145004543656e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.89145004543656e-05×40589641000000     		ar = 144363.755258807m²