Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25734 / 24142
↖ ↑ ↗
← S 64.538996°
E102.722168°		 ← 525.15 m → S 64.538996°
E102.733154°		 →
↑
525.16 m
↓
↑
525.16 m
↓
S 64.543719°
E102.722168°		 ← 525.06 m →
275 765 m²		 S 64.543719°
E102.733154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785354614257812 y=0.736770629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785354614257812 × 215)
    floor (0.785354614257812 × 32768)
    floor (25734.5)     		tx = 25734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736770629882812 × 215)
    floor (0.736770629882812 × 32768)
    floor (24142.5)     		ty = 24142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25734 / 24142 ti = "15/25734/24142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25734/24142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25734 ÷ 215
    25734 ÷ 32768     		x = 0.78533935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24142 ÷ 215
    24142 ÷ 32768     		y = 0.73675537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78533935546875 × 2 - 1) × π
    0.5706787109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79284005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.4735107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48757786900958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79284005} λ = 1.79284005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48757786900958))-π/2
    2×atan(0.225919199265861)-π/2
    2×0.222189177023755-π/2
    0.44437835404751-1.57079632675     		φ = -1.12641797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79284005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.722168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12641797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.538996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25734 KachelY 24142 1.79284005 -1.12641797 102.722168 -64.538996
    Oben rechts KachelX + 1 25735 KachelY 24142 1.79303179 -1.12641797 102.733154 -64.538996
    Unten links KachelX 25734 KachelY + 1 24143 1.79284005 -1.12650040 102.722168 -64.543719
    Unten rechts KachelX + 1 25735 KachelY + 1 24143 1.79303179 -1.12650040 102.733154 -64.543719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12641797--1.12650040) × R
    8.24299999999667e-05 × 6371000     		dl = 525.161529999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12641797--1.12650040) × R
    8.24299999999667e-05 × 6371000     		dr = 525.161529999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79284005-1.79303179) × cos(-1.12641797) × R
    0.000191739999999996 × 0.429896695376922 × 6371000     		do = 525.151287799268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79284005-1.79303179) × cos(-1.12650040) × R
    0.000191739999999996 × 0.429822269676181 × 6371000     		du = 525.060371183695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12641797)-sin(-1.12650040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429896695376922-0.429822269676181)×R²
    abs(1.79303179-1.79284005)×7.44257007414539e-05×R²
    0.000191739999999996×7.44257007414539e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.44257007414539e-05×40589641000000     		ar = 275765.380983699m²