Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25733 / 24998
↖ ↑ ↗
← S 68.293779°
E102.711182°		 ← 451.82 m → S 68.293779°
E102.722168°		 →
↑
451.77 m
↓
↑
451.77 m
↓
S 68.297842°
E102.711182°		 ← 451.74 m →
204 100 m²		 S 68.297842°
E102.722168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785324096679688 y=0.762893676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785324096679688 × 215)
    floor (0.785324096679688 × 32768)
    floor (25733.5)     		tx = 25733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762893676757812 × 215)
    floor (0.762893676757812 × 32768)
    floor (24998.5)     		ty = 24998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25733 / 24998 ti = "15/25733/24998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25733/24998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25733 ÷ 215
    25733 ÷ 32768     		x = 0.785308837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24998 ÷ 215
    24998 ÷ 32768     		y = 0.76287841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785308837890625 × 2 - 1) × π
    0.57061767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79264830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.5257568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65171381330865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79264830} λ = 1.79264830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65171381330865))-π/2
    2×atan(0.191721052810658)-π/2
    2×0.18942250845253-π/2
    0.37884501690506-1.57079632675     		φ = -1.19195131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79264830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.711182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19195131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.293779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25733 KachelY 24998 1.79264830 -1.19195131 102.711182 -68.293779
    Oben rechts KachelX + 1 25734 KachelY 24998 1.79284005 -1.19195131 102.722168 -68.293779
    Unten links KachelX 25733 KachelY + 1 24999 1.79264830 -1.19202222 102.711182 -68.297842
    Unten rechts KachelX + 1 25734 KachelY + 1 24999 1.79284005 -1.19202222 102.722168 -68.297842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19195131--1.19202222) × R
    7.09099999998131e-05 × 6371000     		dl = 451.767609998809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19195131--1.19202222) × R
    7.09099999998131e-05 × 6371000     		dr = 451.767609998809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79264830-1.79284005) × cos(-1.19195131) × R
    0.000191749999999935 × 0.369847630192822 × 6371000     		do = 451.820381562883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79264830-1.79284005) × cos(-1.19202222) × R
    0.000191749999999935 × 0.369781747319324 × 6371000     		du = 451.739896458716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19195131)-sin(-1.19202222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369847630192822-0.369781747319324)×R²
    abs(1.79284005-1.79264830)×6.58828734972916e-05×R²
    0.000191749999999935×6.58828734972916e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.58828734972916e-05×40589641000000     		ar = 204099.633731172m²