Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25732 / 24995
↖ ↑ ↗
← S 68.281586°
E102.700195°		 ← 452.06 m → S 68.281586°
E102.711182°		 →
↑
452.02 m
↓
↑
452.02 m
↓
S 68.285651°
E102.700195°		 ← 451.98 m →
204 324 m²		 S 68.285651°
E102.711182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785293579101562 y=0.762802124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785293579101562 × 215)
    floor (0.785293579101562 × 32768)
    floor (25732.5)     		tx = 25732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762802124023438 × 215)
    floor (0.762802124023438 × 32768)
    floor (24995.5)     		ty = 24995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25732 / 24995 ti = "15/25732/24995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25732/24995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25732 ÷ 215
    25732 ÷ 32768     		x = 0.7852783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24995 ÷ 215
    24995 ÷ 32768     		y = 0.762786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7852783203125 × 2 - 1) × π
    0.570556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79245655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762786865234375 × 2 - 1) × π
    -0.52557373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65113857051321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79245655} λ = 1.79245655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65113857051321))-π/2
    2×atan(0.191831370691762)-π/2
    2×0.18952891297571-π/2
    0.37905782595142-1.57079632675     		φ = -1.19173850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79245655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19173850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.281586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25732 KachelY 24995 1.79245655 -1.19173850 102.700195 -68.281586
    Oben rechts KachelX + 1 25733 KachelY 24995 1.79264830 -1.19173850 102.711182 -68.281586
    Unten links KachelX 25732 KachelY + 1 24996 1.79245655 -1.19180945 102.700195 -68.285651
    Unten rechts KachelX + 1 25733 KachelY + 1 24996 1.79264830 -1.19180945 102.711182 -68.285651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19173850--1.19180945) × R
    7.09500000000141e-05 × 6371000     		dl = 452.02245000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19173850--1.19180945) × R
    7.09500000000141e-05 × 6371000     		dr = 452.02245000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79245655-1.79264830) × cos(-1.19173850) × R
    0.000191749999999935 × 0.370045341975017 × 6371000     		do = 452.0619140362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79245655-1.79264830) × cos(-1.19180945) × R
    0.000191749999999935 × 0.369979427522049 × 6371000     		du = 451.981390353312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19173850)-sin(-1.19180945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370045341975017-0.369979427522049)×R²
    abs(1.79264830-1.79245655)×6.59144529676081e-05×R²
    0.000191749999999935×6.59144529676081e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.59144529676081e-05×40589641000000     		ar = 204323.934763685m²