Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25731 / 24851
↖ ↑ ↗
← S 67.688600°
E102.689209°		 ← 463.78 m → S 67.688600°
E102.700195°		 →
↑
463.75 m
↓
↑
463.75 m
↓
S 67.692771°
E102.689209°		 ← 463.70 m →
215 058 m²		 S 67.692771°
E102.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785263061523438 y=0.758407592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785263061523438 × 215)
    floor (0.785263061523438 × 32768)
    floor (25731.5)     		tx = 25731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758407592773438 × 215)
    floor (0.758407592773438 × 32768)
    floor (24851.5)     		ty = 24851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25731 / 24851 ti = "15/25731/24851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25731/24851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25731 ÷ 215
    25731 ÷ 32768     		x = 0.785247802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24851 ÷ 215
    24851 ÷ 32768     		y = 0.758392333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785247802734375 × 2 - 1) × π
    0.57049560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79226480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758392333984375 × 2 - 1) × π
    -0.51678466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62352691633206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79226480} λ = 1.79226480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62352691633206))-π/2
    2×atan(0.197201956328664)-π/2
    2×0.194703691286286-π/2
    0.389407382572571-1.57079632675     		φ = -1.18138894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79226480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.689209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18138894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.688600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25731 KachelY 24851 1.79226480 -1.18138894 102.689209 -67.688600
    Oben rechts KachelX + 1 25732 KachelY 24851 1.79245655 -1.18138894 102.700195 -67.688600
    Unten links KachelX 25731 KachelY + 1 24852 1.79226480 -1.18146173 102.689209 -67.692771
    Unten rechts KachelX + 1 25732 KachelY + 1 24852 1.79245655 -1.18146173 102.700195 -67.692771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18138894--1.18146173) × R
    7.27900000001558e-05 × 6371000     		dl = 463.745090000992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18138894--1.18146173) × R
    7.27900000001558e-05 × 6371000     		dr = 463.745090000992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79226480-1.79245655) × cos(-1.18138894) × R
    0.000191749999999935 × 0.379640235073591 × 6371000     		do = 463.783412044969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79226480-1.79245655) × cos(-1.18146173) × R
    0.000191749999999935 × 0.379572893549339 × 6371000     		du = 463.701144995788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18138894)-sin(-1.18146173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379640235073591-0.379572893549339)×R²
    abs(1.79245655-1.79226480)×6.73415242521402e-05×R²
    0.000191749999999935×6.73415242521402e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.73415242521402e-05×40589641000000     		ar = 215058.204784728m²