Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25729 / 24138
↖ ↑ ↗
← S 64.520097°
E102.667236°		 ← 525.54 m → S 64.520097°
E102.678223°		 →
↑
525.48 m
↓
↑
525.48 m
↓
S 64.524823°
E102.667236°		 ← 525.45 m →
276 138 m²		 S 64.524823°
E102.678223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785202026367188 y=0.736648559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785202026367188 × 215)
    floor (0.785202026367188 × 32768)
    floor (25729.5)     		tx = 25729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736648559570312 × 215)
    floor (0.736648559570312 × 32768)
    floor (24138.5)     		ty = 24138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25729 / 24138 ti = "15/25729/24138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25729/24138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25729 ÷ 215
    25729 ÷ 32768     		x = 0.785186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24138 ÷ 215
    24138 ÷ 32768     		y = 0.73663330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785186767578125 × 2 - 1) × π
    0.57037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79188131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73663330078125 × 2 - 1) × π
    -0.4732666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48681087861566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79188131} λ = 1.79188131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48681087861566))-π/2
    2×atan(0.226092543589718)-π/2
    2×0.222354097434685-π/2
    0.44470819486937-1.57079632675     		φ = -1.12608813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79188131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.667236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12608813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.520097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25729 KachelY 24138 1.79188131 -1.12608813 102.667236 -64.520097
    Oben rechts KachelX + 1 25730 KachelY 24138 1.79207306 -1.12608813 102.678223 -64.520097
    Unten links KachelX 25729 KachelY + 1 24139 1.79188131 -1.12617061 102.667236 -64.524823
    Unten rechts KachelX + 1 25730 KachelY + 1 24139 1.79207306 -1.12617061 102.678223 -64.524823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12608813--1.12617061) × R
    8.24799999998849e-05 × 6371000     		dl = 525.480079999267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12608813--1.12617061) × R
    8.24799999998849e-05 × 6371000     		dr = 525.480079999267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79188131-1.79207306) × cos(-1.12608813) × R
    0.000191750000000157 × 0.430194477292971 × 6371000     		do = 525.542458594757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79188131-1.79207306) × cos(-1.12617061) × R
    0.000191750000000157 × 0.430120018145018 × 6371000     		du = 525.451496377097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12608813)-sin(-1.12617061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430194477292971-0.430120018145018)×R²
    abs(1.79207306-1.79188131)×7.44591479528989e-05×R²
    0.000191750000000157×7.44591479528989e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.44591479528989e-05×40589641000000     		ar = 276138.193925511m²