Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25729 / 24133
↖ ↑ ↗
← S 64.496456°
E102.667236°		 ← 526 m → S 64.496456°
E102.678223°		 →
↑
525.93 m
↓
↑
525.93 m
↓
S 64.501186°
E102.667236°		 ← 525.91 m →
276 612 m²		 S 64.501186°
E102.678223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785202026367188 y=0.736495971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785202026367188 × 215)
    floor (0.785202026367188 × 32768)
    floor (25729.5)     		tx = 25729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736495971679688 × 215)
    floor (0.736495971679688 × 32768)
    floor (24133.5)     		ty = 24133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25729 / 24133 ti = "15/25729/24133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25729/24133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25729 ÷ 215
    25729 ÷ 32768     		x = 0.785186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24133 ÷ 215
    24133 ÷ 32768     		y = 0.736480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785186767578125 × 2 - 1) × π
    0.57037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79188131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.47296142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48585214062326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79188131} λ = 1.79188131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48585214062326))-π/2
    2×atan(0.226309411043978)-π/2
    2×0.22256040858974-π/2
    0.445120817179479-1.57079632675     		φ = -1.12567551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79188131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.667236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12567551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.496456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25729 KachelY 24133 1.79188131 -1.12567551 102.667236 -64.496456
    Oben rechts KachelX + 1 25730 KachelY 24133 1.79207306 -1.12567551 102.678223 -64.496456
    Unten links KachelX 25729 KachelY + 1 24134 1.79188131 -1.12575806 102.667236 -64.501186
    Unten rechts KachelX + 1 25730 KachelY + 1 24134 1.79207306 -1.12575806 102.678223 -64.501186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12567551--1.12575806) × R
    8.25499999999035e-05 × 6371000     		dl = 525.926049999385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12567551--1.12575806) × R
    8.25499999999035e-05 × 6371000     		dr = 525.926049999385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79188131-1.79207306) × cos(-1.12567551) × R
    0.000191750000000157 × 0.430566927686644 × 6371000     		do = 525.997458614347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79188131-1.79207306) × cos(-1.12575806) × R
    0.000191750000000157 × 0.430492420002935 × 6371000     		du = 525.906437103501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12567551)-sin(-1.12575806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430566927686644-0.430492420002935)×R²
    abs(1.79207306-1.79188131)×7.45076837096459e-05×R²
    0.000191750000000157×7.45076837096459e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.45076837096459e-05×40589641000000     		ar = 276611.83058429m²