Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25728 / 24159
↖ ↑ ↗
← S 64.619168°
E102.656250°		 ← 523.63 m → S 64.619168°
E102.667236°		 →
↑
523.57 m
↓
↑
523.57 m
↓
S 64.623877°
E102.656250°		 ← 523.54 m →
274 135 m²		 S 64.623877°
E102.667236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785171508789062 y=0.737289428710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785171508789062 × 215)
    floor (0.785171508789062 × 32768)
    floor (25728.5)     		tx = 25728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737289428710938 × 215)
    floor (0.737289428710938 × 32768)
    floor (24159.5)     		ty = 24159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25728 / 24159 ti = "15/25728/24159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25728/24159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25728 ÷ 215
    25728 ÷ 32768     		x = 0.78515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24159 ÷ 215
    24159 ÷ 32768     		y = 0.737274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78515625 × 2 - 1) × π
    0.5703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79168956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737274169921875 × 2 - 1) × π
    -0.47454833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49083757818375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79168956} λ = 1.79168956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49083757818375))-π/2
    2×atan(0.225183967351532)-π/2
    2×0.22148953822117-π/2
    0.44297907644234-1.57079632675     		φ = -1.12781725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79168956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12781725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.619168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25728 KachelY 24159 1.79168956 -1.12781725 102.656250 -64.619168
    Oben rechts KachelX + 1 25729 KachelY 24159 1.79188131 -1.12781725 102.667236 -64.619168
    Unten links KachelX 25728 KachelY + 1 24160 1.79168956 -1.12789943 102.656250 -64.623877
    Unten rechts KachelX + 1 25729 KachelY + 1 24160 1.79188131 -1.12789943 102.667236 -64.623877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12781725--1.12789943) × R
    8.21799999999318e-05 × 6371000     		dl = 523.568779999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12781725--1.12789943) × R
    8.21799999999318e-05 × 6371000     		dr = 523.568779999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79168956-1.79188131) × cos(-1.12781725) × R
    0.000191749999999935 × 0.428632895680883 × 6371000     		do = 523.634769204744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79168956-1.79188131) × cos(-1.12789943) × R
    0.000191749999999935 × 0.428558646350392 × 6371000     		du = 523.544063308331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12781725)-sin(-1.12789943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428632895680883-0.428558646350392)×R²
    abs(1.79188131-1.79168956)×7.4249330490217e-05×R²
    0.000191749999999935×7.4249330490217e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.4249330490217e-05×40589641000000     		ar = 274135.072044675m²