Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25726 / 24153
↖ ↑ ↗
← S 64.590899°
E102.634278°		 ← 524.15 m → S 64.590899°
E102.645264°		 →
↑
524.14 m
↓
↑
524.14 m
↓
S 64.595613°
E102.634278°		 ← 524.06 m →
274 706 m²		 S 64.595613°
E102.645264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785110473632812 y=0.737106323242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785110473632812 × 215)
    floor (0.785110473632812 × 32768)
    floor (25726.5)     		tx = 25726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737106323242188 × 215)
    floor (0.737106323242188 × 32768)
    floor (24153.5)     		ty = 24153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25726 / 24153 ti = "15/25726/24153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25726/24153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25726 ÷ 215
    25726 ÷ 32768     		x = 0.78509521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24153 ÷ 215
    24153 ÷ 32768     		y = 0.737091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78509521484375 × 2 - 1) × π
    0.5701904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79130607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737091064453125 × 2 - 1) × π
    -0.47418212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48968709259286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79130607} λ = 1.79130607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48968709259286))-π/2
    2×atan(0.22544318734711)-π/2
    2×0.221736234386745-π/2
    0.443472468773491-1.57079632675     		φ = -1.12732386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79130607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.634278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12732386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.590899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25726 KachelY 24153 1.79130607 -1.12732386 102.634278 -64.590899
    Oben rechts KachelX + 1 25727 KachelY 24153 1.79149781 -1.12732386 102.645264 -64.590899
    Unten links KachelX 25726 KachelY + 1 24154 1.79130607 -1.12740613 102.634278 -64.595613
    Unten rechts KachelX + 1 25727 KachelY + 1 24154 1.79149781 -1.12740613 102.645264 -64.595613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12732386--1.12740613) × R
    8.22700000000509e-05 × 6371000     		dl = 524.142170000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12732386--1.12740613) × R
    8.22700000000509e-05 × 6371000     		dr = 524.142170000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79130607-1.79149781) × cos(-1.12732386) × R
    0.000191739999999996 × 0.429078610868423 × 6371000     		do = 524.151935774033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79130607-1.79149781) × cos(-1.12740613) × R
    0.000191739999999996 × 0.429004297627934 × 6371000     		du = 524.061156537153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12732386)-sin(-1.12740613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429078610868423-0.429004297627934)×R²
    abs(1.79149781-1.79130607)×7.43132404893987e-05×R²
    0.000191739999999996×7.43132404893987e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.43132404893987e-05×40589641000000     		ar = 274706.342568236m²