Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25726 / 24152
↖ ↑ ↗
← S 64.586185°
E102.634278°		 ← 524.24 m → S 64.586185°
E102.645264°		 →
↑
524.21 m
↓
↑
524.21 m
↓
S 64.590899°
E102.634278°		 ← 524.15 m →
274 787 m²		 S 64.590899°
E102.645264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785110473632812 y=0.737075805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785110473632812 × 215)
    floor (0.785110473632812 × 32768)
    floor (25726.5)     		tx = 25726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737075805664062 × 215)
    floor (0.737075805664062 × 32768)
    floor (24152.5)     		ty = 24152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25726 / 24152 ti = "15/25726/24152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25726/24152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25726 ÷ 215
    25726 ÷ 32768     		x = 0.78509521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24152 ÷ 215
    24152 ÷ 32768     		y = 0.737060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78509521484375 × 2 - 1) × π
    0.5701904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79130607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.47412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48949534499438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79130607} λ = 1.79130607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48949534499438))-π/2
    2×atan(0.225486419681593)-π/2
    2×0.221777375346157-π/2
    0.443554750692314-1.57079632675     		φ = -1.12724158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79130607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.634278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12724158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.586185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25726 KachelY 24152 1.79130607 -1.12724158 102.634278 -64.586185
    Oben rechts KachelX + 1 25727 KachelY 24152 1.79149781 -1.12724158 102.645264 -64.586185
    Unten links KachelX 25726 KachelY + 1 24153 1.79130607 -1.12732386 102.634278 -64.590899
    Unten rechts KachelX + 1 25727 KachelY + 1 24153 1.79149781 -1.12732386 102.645264 -64.590899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12724158--1.12732386) × R
    8.22799999999901e-05 × 6371000     		dl = 524.205879999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12724158--1.12732386) × R
    8.22799999999901e-05 × 6371000     		dr = 524.205879999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79130607-1.79149781) × cos(-1.12724158) × R
    0.000191739999999996 × 0.429152930237076 × 6371000     		do = 524.242722496926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79130607-1.79149781) × cos(-1.12732386) × R
    0.000191739999999996 × 0.429078610868423 × 6371000     		du = 524.151935774033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12724158)-sin(-1.12732386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429152930237076-0.429078610868423)×R²
    abs(1.79149781-1.79130607)×7.43193686523203e-05×R²
    0.000191739999999996×7.43193686523203e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.43193686523203e-05×40589641000000     		ar = 274787.32236803m²