Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25725 / 24154
↖ ↑ ↗
← S 64.595613°
E102.623291°		 ← 524.09 m → S 64.595613°
E102.634278°		 →
↑
524.01 m
↓
↑
524.01 m
↓
S 64.600326°
E102.623291°		 ← 524 m →
274 606 m²		 S 64.600326°
E102.634278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785079956054688 y=0.737136840820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785079956054688 × 215)
    floor (0.785079956054688 × 32768)
    floor (25725.5)     		tx = 25725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737136840820312 × 215)
    floor (0.737136840820312 × 32768)
    floor (24154.5)     		ty = 24154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25725 / 24154 ti = "15/25725/24154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25725/24154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25725 ÷ 215
    25725 ÷ 32768     		x = 0.785064697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24154 ÷ 215
    24154 ÷ 32768     		y = 0.73712158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785064697265625 × 2 - 1) × π
    0.57012939453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79111432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73712158203125 × 2 - 1) × π
    -0.4742431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48987884019135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79111432} λ = 1.79111432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48987884019135))-π/2
    2×atan(0.225399963301528)-π/2
    2×0.221695100552302-π/2
    0.443390201104605-1.57079632675     		φ = -1.12740613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79111432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.623291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12740613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.595613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25725 KachelY 24154 1.79111432 -1.12740613 102.623291 -64.595613
    Oben rechts KachelX + 1 25726 KachelY 24154 1.79130607 -1.12740613 102.634278 -64.595613
    Unten links KachelX 25725 KachelY + 1 24155 1.79111432 -1.12748838 102.623291 -64.600326
    Unten rechts KachelX + 1 25726 KachelY + 1 24155 1.79130607 -1.12748838 102.634278 -64.600326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12740613--1.12748838) × R
    8.22499999999504e-05 × 6371000     		dl = 524.014749999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12740613--1.12748838) × R
    8.22499999999504e-05 × 6371000     		dr = 524.014749999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79111432-1.79130607) × cos(-1.12740613) × R
    0.000191750000000157 × 0.429004297627934 × 6371000     		do = 524.088488401395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79111432-1.79130607) × cos(-1.12748838) × R
    0.000191750000000157 × 0.428929999550547 × 6371000     		du = 523.99772295386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12740613)-sin(-1.12748838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429004297627934-0.428929999550547)×R²
    abs(1.79130607-1.79111432)×7.42980773870694e-05×R²
    0.000191750000000157×7.42980773870694e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.42980773870694e-05×40589641000000     		ar = 274606.317165608m²