Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25724 / 24155
↖ ↑ ↗
← S 64.600326°
E102.612305°		 ← 524 m → S 64.600326°
E102.623291°		 →
↑
523.95 m
↓
↑
523.95 m
↓
S 64.605038°
E102.612305°		 ← 523.91 m →
274 525 m²		 S 64.605038°
E102.623291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785049438476562 y=0.737167358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785049438476562 × 215)
    floor (0.785049438476562 × 32768)
    floor (25724.5)     		tx = 25724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737167358398438 × 215)
    floor (0.737167358398438 × 32768)
    floor (24155.5)     		ty = 24155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25724 / 24155 ti = "15/25724/24155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25724/24155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25724 ÷ 215
    25724 ÷ 32768     		x = 0.7850341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24155 ÷ 215
    24155 ÷ 32768     		y = 0.737152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7850341796875 × 2 - 1) × π
    0.570068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79092257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737152099609375 × 2 - 1) × π
    -0.47430419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49007058778983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79092257} λ = 1.79092257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49007058778983))-π/2
    2×atan(0.225356747543259)-π/2
    2×0.221653973841873-π/2
    0.443307947683745-1.57079632675     		φ = -1.12748838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79092257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12748838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.600326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25724 KachelY 24155 1.79092257 -1.12748838 102.612305 -64.600326
    Oben rechts KachelX + 1 25725 KachelY 24155 1.79111432 -1.12748838 102.623291 -64.600326
    Unten links KachelX 25724 KachelY + 1 24156 1.79092257 -1.12757062 102.612305 -64.605038
    Unten rechts KachelX + 1 25725 KachelY + 1 24156 1.79111432 -1.12757062 102.623291 -64.605038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12748838--1.12757062) × R
    8.22400000000112e-05 × 6371000     		dl = 523.951040000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12748838--1.12757062) × R
    8.22400000000112e-05 × 6371000     		dr = 523.951040000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79092257-1.79111432) × cos(-1.12748838) × R
    0.000191749999999935 × 0.428929999550547 × 6371000     		do = 523.997722953253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79092257-1.79111432) × cos(-1.12757062) × R
    0.000191749999999935 × 0.428855707605151 × 6371000     		du = 523.906964996799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12748838)-sin(-1.12757062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428929999550547-0.428855707605151)×R²
    abs(1.79111432-1.79092257)×7.42919453953772e-05×R²
    0.000191749999999935×7.42919453953772e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.42919453953772e-05×40589641000000     		ar = 274525.375690914m²