Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2572 / 3596
↖ ↑ ↗
← N 70.524897°
W123.486328°		 ← 814.58 m → N 70.524897°
W123.464355°		 →
↑
814.72 m
↓
↑
814.72 m
↓
N 70.517570°
W123.486328°		 ← 814.88 m →
663 779 m²		 N 70.517570°
W123.464355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157012939453125 y=0.219512939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157012939453125 × 214)
    floor (0.157012939453125 × 16384)
    floor (2572.5)     		tx = 2572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219512939453125 × 214)
    floor (0.219512939453125 × 16384)
    floor (3596.5)     		ty = 3596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2572 / 3596 ti = "14/2572/3596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2572/3596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2572 ÷ 214
    2572 ÷ 16384     		x = 0.156982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3596 ÷ 214
    3596 ÷ 16384     		y = 0.219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156982421875 × 2 - 1) × π
    -0.68603515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15524301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219482421875 × 2 - 1) × π
    0.56103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76254392523022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15524301} λ = -2.15524301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76254392523022))-π/2
    2×atan(5.82724262425378)-π/2
    2×1.40084399402055-π/2
    2.8016879880411-1.57079632675     		φ = 1.23089166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15524301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23089166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.524897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2572 KachelY 3596 -2.15524301 1.23089166 -123.486328 70.524897
    Oben rechts KachelX + 1 2573 KachelY 3596 -2.15485951 1.23089166 -123.464355 70.524897
    Unten links KachelX 2572 KachelY + 1 3597 -2.15524301 1.23076378 -123.486328 70.517570
    Unten rechts KachelX + 1 2573 KachelY + 1 3597 -2.15485951 1.23076378 -123.464355 70.517570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23089166-1.23076378) × R
    0.000127879999999969 × 6371000     		dl = 814.723479999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23089166-1.23076378) × R
    0.000127879999999969 × 6371000     		dr = 814.723479999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15524301--2.15485951) × cos(1.23089166) × R
    0.00038349999999987 × 0.333397214801624 × 6371000     		do = 814.582246884414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15524301--2.15485951) × cos(1.23076378) × R
    0.00038349999999987 × 0.333517775606915 × 6371000     		du = 814.876810507925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23089166)-sin(1.23076378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333397214801624-0.333517775606915)×R²
    abs(-2.15485951--2.15524301)×0.000120560805291159×R²
    0.00038349999999987×0.000120560805291159×6371000²
    0.00038349999999987×0.000120560805291159×40589641000000     		ar = 663779.277783566m²