Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25719 / 24940
↖ ↑ ↗
← S 68.056889°
E102.557373°		 ← 456.51 m → S 68.056889°
E102.568359°		 →
↑
456.48 m
↓
↑
456.48 m
↓
S 68.060994°
E102.557373°		 ← 456.43 m →
208 370 m²		 S 68.060994°
E102.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784896850585938 y=0.761123657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784896850585938 × 215)
    floor (0.784896850585938 × 32768)
    floor (25719.5)     		tx = 25719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761123657226562 × 215)
    floor (0.761123657226562 × 32768)
    floor (24940.5)     		ty = 24940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25719 / 24940 ti = "15/25719/24940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25719/24940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25719 ÷ 215
    25719 ÷ 32768     		x = 0.784881591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24940 ÷ 215
    24940 ÷ 32768     		y = 0.7611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784881591796875 × 2 - 1) × π
    0.56976318359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78996383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7611083984375 × 2 - 1) × π
    -0.522216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6405924525968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78996383} λ = 1.78996383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6405924525968))-π/2
    2×atan(0.193865152347892)-π/2
    2×0.191489768933572-π/2
    0.382979537867143-1.57079632675     		φ = -1.18781679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78996383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.557373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18781679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.056889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25719 KachelY 24940 1.78996383 -1.18781679 102.557373 -68.056889
    Oben rechts KachelX + 1 25720 KachelY 24940 1.79015558 -1.18781679 102.568359 -68.056889
    Unten links KachelX 25719 KachelY + 1 24941 1.78996383 -1.18788844 102.557373 -68.060994
    Unten rechts KachelX + 1 25720 KachelY + 1 24941 1.79015558 -1.18788844 102.568359 -68.060994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18781679--1.18788844) × R
    7.16499999999787e-05 × 6371000     		dl = 456.482149999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18781679--1.18788844) × R
    7.16499999999787e-05 × 6371000     		dr = 456.482149999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78996383-1.79015558) × cos(-1.18781679) × R
    0.000191749999999935 × 0.373685809322857 × 6371000     		do = 456.509251836664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78996383-1.79015558) × cos(-1.18788844) × R
    0.000191749999999935 × 0.373619349023327 × 6371000     		du = 456.428061326191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18781679)-sin(-1.18788844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373685809322857-0.373619349023327)×R²
    abs(1.79015558-1.78996383)×6.64602995298358e-05×R²
    0.000191749999999935×6.64602995298358e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.64602995298358e-05×40589641000000     		ar = 208369.793852831m²