Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25717 / 24939
↖ ↑ ↗
← S 68.052783°
E102.535401°		 ← 456.57 m → S 68.052783°
E102.546386°		 →
↑
456.55 m
↓
↑
456.55 m
↓
S 68.056889°
E102.535401°		 ← 456.49 m →
208 425 m²		 S 68.056889°
E102.546386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784835815429688 y=0.761093139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784835815429688 × 215)
    floor (0.784835815429688 × 32768)
    floor (25717.5)     		tx = 25717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761093139648438 × 215)
    floor (0.761093139648438 × 32768)
    floor (24939.5)     		ty = 24939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25717 / 24939 ti = "15/25717/24939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25717/24939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25717 ÷ 215
    25717 ÷ 32768     		x = 0.784820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24939 ÷ 215
    24939 ÷ 32768     		y = 0.761077880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784820556640625 × 2 - 1) × π
    0.56964111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78958034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761077880859375 × 2 - 1) × π
    -0.52215576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64040070499832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78958034} λ = 1.78958034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64040070499832))-π/2
    2×atan(0.193902329089445)-π/2
    2×0.191525598798091-π/2
    0.383051197596182-1.57079632675     		φ = -1.18774513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78958034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.535401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18774513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.052783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25717 KachelY 24939 1.78958034 -1.18774513 102.535401 -68.052783
    Oben rechts KachelX + 1 25718 KachelY 24939 1.78977208 -1.18774513 102.546386 -68.052783
    Unten links KachelX 25717 KachelY + 1 24940 1.78958034 -1.18781679 102.535401 -68.056889
    Unten rechts KachelX + 1 25718 KachelY + 1 24940 1.78977208 -1.18781679 102.546386 -68.056889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18774513--1.18781679) × R
    7.16600000001399e-05 × 6371000     		dl = 456.545860000892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18774513--1.18781679) × R
    7.16600000001399e-05 × 6371000     		dr = 456.545860000892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78958034-1.78977208) × cos(-1.18774513) × R
    0.000191739999999996 × 0.373752276979273 × 6371000     		do = 456.566639577176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78958034-1.78977208) × cos(-1.18781679) × R
    0.000191739999999996 × 0.373685809322857 × 6371000     		du = 456.485444313896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18774513)-sin(-1.18781679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373752276979273-0.373685809322857)×R²
    abs(1.78977208-1.78958034)×6.64676564163802e-05×R²
    0.000191739999999996×6.64676564163802e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.64676564163802e-05×40589641000000     		ar = 208425.07452225m²