Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25717 / 24818
↖ ↑ ↗
← S 67.550559°
E102.535401°		 ← 466.48 m → S 67.550559°
E102.546386°		 →
↑
466.48 m
↓
↑
466.48 m
↓
S 67.554754°
E102.535401°		 ← 466.40 m →
217 587 m²		 S 67.554754°
E102.546386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784835815429688 y=0.757400512695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784835815429688 × 215)
    floor (0.784835815429688 × 32768)
    floor (25717.5)     		tx = 25717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757400512695312 × 215)
    floor (0.757400512695312 × 32768)
    floor (24818.5)     		ty = 24818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25717 / 24818 ti = "15/25717/24818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25717/24818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25717 ÷ 215
    25717 ÷ 32768     		x = 0.784820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24818 ÷ 215
    24818 ÷ 32768     		y = 0.75738525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784820556640625 × 2 - 1) × π
    0.56964111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78958034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75738525390625 × 2 - 1) × π
    -0.5147705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61719924558221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78958034} λ = 1.78958034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61719924558221))-π/2
    2×atan(0.198453741645478)-π/2
    2×0.195908331828492-π/2
    0.391816663656985-1.57079632675     		φ = -1.17897966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78958034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.535401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17897966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.550559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25717 KachelY 24818 1.78958034 -1.17897966 102.535401 -67.550559
    Oben rechts KachelX + 1 25718 KachelY 24818 1.78977208 -1.17897966 102.546386 -67.550559
    Unten links KachelX 25717 KachelY + 1 24819 1.78958034 -1.17905288 102.535401 -67.554754
    Unten rechts KachelX + 1 25718 KachelY + 1 24819 1.78977208 -1.17905288 102.546386 -67.554754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17897966--1.17905288) × R
    7.3219999999985e-05 × 6371000     		dl = 466.484619999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17897966--1.17905288) × R
    7.3219999999985e-05 × 6371000     		dr = 466.484619999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78958034-1.78977208) × cos(-1.17897966) × R
    0.000191739999999996 × 0.381868038412682 × 6371000     		do = 466.480655232703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78958034-1.78977208) × cos(-1.17905288) × R
    0.000191739999999996 × 0.381800366230746 × 6371000     		du = 466.397988550511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17897966)-sin(-1.17905288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381868038412682-0.381800366230746)×R²
    abs(1.78977208-1.78958034)×6.767218193654e-05×R²
    0.000191739999999996×6.767218193654e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.767218193654e-05×40589641000000     		ar = 217586.769923126m²