Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25717 / 24062
↖ ↑ ↗
← S 64.158531°
E102.535401°		 ← 532.46 m → S 64.158531°
E102.546386°		 →
↑
532.42 m
↓
↑
532.42 m
↓
S 64.163319°
E102.535401°		 ← 532.37 m →
283 472 m²		 S 64.163319°
E102.546386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784835815429688 y=0.734329223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784835815429688 × 215)
    floor (0.784835815429688 × 32768)
    floor (25717.5)     		tx = 25717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734329223632812 × 215)
    floor (0.734329223632812 × 32768)
    floor (24062.5)     		ty = 24062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25717 / 24062 ti = "15/25717/24062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25717/24062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25717 ÷ 215
    25717 ÷ 32768     		x = 0.784820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24062 ÷ 215
    24062 ÷ 32768     		y = 0.73431396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784820556640625 × 2 - 1) × π
    0.56964111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78958034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.4686279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47223806113116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78958034} λ = 1.78958034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47223806113116))-π/2
    2×atan(0.229411473304824)-π/2
    2×0.225509358356922-π/2
    0.451018716713843-1.57079632675     		φ = -1.11977761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78958034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.535401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11977761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.158531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25717 KachelY 24062 1.78958034 -1.11977761 102.535401 -64.158531
    Oben rechts KachelX + 1 25718 KachelY 24062 1.78977208 -1.11977761 102.546386 -64.158531
    Unten links KachelX 25717 KachelY + 1 24063 1.78958034 -1.11986118 102.535401 -64.163319
    Unten rechts KachelX + 1 25718 KachelY + 1 24063 1.78977208 -1.11986118 102.546386 -64.163319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11977761--1.11986118) × R
    8.35699999999218e-05 × 6371000     		dl = 532.424469999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11977761--1.11986118) × R
    8.35699999999218e-05 × 6371000     		dr = 532.424469999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78958034-1.78977208) × cos(-1.11977761) × R
    0.000191739999999996 × 0.435882608838556 × 6371000     		do = 532.463533268557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78958034-1.78977208) × cos(-1.11986118) × R
    0.000191739999999996 × 0.435807394021677 × 6371000     		du = 532.371652688012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11977761)-sin(-1.11986118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435882608838556-0.435807394021677)×R²
    abs(1.78977208-1.78958034)×7.52148168791655e-05×R²
    0.000191739999999996×7.52148168791655e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.52148168791655e-05×40589641000000     		ar = 283472.154924841m²