Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25714 / 42194
↖ ↑ ↗
← S 45.897655°
W 38.748779°		 ← 425.07 m → S 45.897655°
W 38.743286°		 →
↑
425.07 m
↓
↑
425.07 m
↓
S 45.901477°
W 38.748779°		 ← 425.04 m →
180 681 m²		 S 45.901477°
W 38.743286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.392372131347656 y=0.643836975097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.392372131347656 × 216)
    floor (0.392372131347656 × 65536)
    floor (25714.5)     		tx = 25714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643836975097656 × 216)
    floor (0.643836975097656 × 65536)
    floor (42194.5)     		ty = 42194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25714 / 42194 ti = "16/25714/42194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25714/42194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25714 ÷ 216
    25714 ÷ 65536     		x = 0.392364501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42194 ÷ 216
    42194 ÷ 65536     		y = 0.643829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.392364501953125 × 2 - 1) × π
    -0.21527099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.67629378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.28765869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.903706431637299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67629378} λ = -0.67629378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903706431637299))-π/2
    2×atan(0.405065526296798)-π/2
    2×0.384865568122807-π/2
    0.769731136245615-1.57079632675     		φ = -0.80106519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67629378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.748779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80106519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.897655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25714 KachelY 42194 -0.67629378 -0.80106519 -38.748779 -45.897655
    Oben rechts KachelX + 1 25715 KachelY 42194 -0.67619791 -0.80106519 -38.743286 -45.897655
    Unten links KachelX 25714 KachelY + 1 42195 -0.67629378 -0.80113191 -38.748779 -45.901477
    Unten rechts KachelX + 1 25715 KachelY + 1 42195 -0.67619791 -0.80113191 -38.743286 -45.901477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80106519--0.80113191) × R
    6.67199999999646e-05 × 6371000     		dl = 425.073119999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80106519--0.80113191) × R
    6.67199999999646e-05 × 6371000     		dr = 425.073119999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67629378--0.67619791) × cos(-0.80106519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695942193705162 × 6371000     		do = 425.072980542074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67629378--0.67619791) × cos(-0.80113191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.69589428067038 × 6371000     		du = 425.043715846406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80106519)-sin(-0.80113191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695942193705162-0.69589428067038)×R²
    abs(-0.67619791--0.67629378)×4.79130347820211e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79130347820211e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79130347820211e-05×40589641000000     		ar = 180680.878315785m²