Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25713 / 24060
↖ ↑ ↗
← S 64.148952°
E102.491455°		 ← 532.65 m → S 64.148952°
E102.502441°		 →
↑
532.62 m
↓
↑
532.62 m
↓
S 64.153742°
E102.491455°		 ← 532.56 m →
283 672 m²		 S 64.153742°
E102.502441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784713745117188 y=0.734268188476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784713745117188 × 215)
    floor (0.784713745117188 × 32768)
    floor (25713.5)     		tx = 25713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734268188476562 × 215)
    floor (0.734268188476562 × 32768)
    floor (24060.5)     		ty = 24060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25713 / 24060 ti = "15/25713/24060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25713/24060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25713 ÷ 215
    25713 ÷ 32768     		x = 0.784698486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24060 ÷ 215
    24060 ÷ 32768     		y = 0.7342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784698486328125 × 2 - 1) × π
    0.56939697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78881335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7342529296875 × 2 - 1) × π
    -0.468505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4718545659342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78881335} λ = 1.78881335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4718545659342))-π/2
    2×atan(0.229499468374729)-π/2
    2×0.22559295222524-π/2
    0.451185904450481-1.57079632675     		φ = -1.11961042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78881335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.491455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11961042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.148952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25713 KachelY 24060 1.78881335 -1.11961042 102.491455 -64.148952
    Oben rechts KachelX + 1 25714 KachelY 24060 1.78900509 -1.11961042 102.502441 -64.148952
    Unten links KachelX 25713 KachelY + 1 24061 1.78881335 -1.11969402 102.491455 -64.153742
    Unten rechts KachelX + 1 25714 KachelY + 1 24061 1.78900509 -1.11969402 102.502441 -64.153742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11961042--1.11969402) × R
    8.35999999999615e-05 × 6371000     		dl = 532.615599999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11961042--1.11969402) × R
    8.35999999999615e-05 × 6371000     		dr = 532.615599999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78881335-1.78900509) × cos(-1.11961042) × R
    0.000191739999999996 × 0.436033074335782 × 6371000     		do = 532.647338239581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78881335-1.78900509) × cos(-1.11969402) × R
    0.000191739999999996 × 0.435957838610597 × 6371000     		du = 532.555432117962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11961042)-sin(-1.11969402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436033074335782-0.435957838610597)×R²
    abs(1.78900509-1.78881335)×7.52357251843638e-05×R²
    0.000191739999999996×7.52357251843638e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.52357251843638e-05×40589641000000     		ar = 283671.806492442m²