Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25711 / 24951
↖ ↑ ↗
← S 68.102005°
E102.469482°		 ← 455.62 m → S 68.102005°
E102.480469°		 →
↑
455.53 m
↓
↑
455.53 m
↓
S 68.106101°
E102.469482°		 ← 455.54 m →
207 527 m²		 S 68.106101°
E102.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784652709960938 y=0.761459350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784652709960938 × 215)
    floor (0.784652709960938 × 32768)
    floor (25711.5)     		tx = 25711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761459350585938 × 215)
    floor (0.761459350585938 × 32768)
    floor (24951.5)     		ty = 24951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25711 / 24951 ti = "15/25711/24951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25711/24951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25711 ÷ 215
    25711 ÷ 32768     		x = 0.784637451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24951 ÷ 215
    24951 ÷ 32768     		y = 0.761444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784637451171875 × 2 - 1) × π
    0.56927490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78842985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.52288818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64270167618008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78842985} λ = 1.78842985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64270167618008))-π/2
    2×atan(0.193456678329535)-π/2
    2×0.191096060767547-π/2
    0.382192121535093-1.57079632675     		φ = -1.18860421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78842985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.469482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18860421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.102005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25711 KachelY 24951 1.78842985 -1.18860421 102.469482 -68.102005
    Oben rechts KachelX + 1 25712 KachelY 24951 1.78862160 -1.18860421 102.480469 -68.102005
    Unten links KachelX 25711 KachelY + 1 24952 1.78842985 -1.18867571 102.469482 -68.106101
    Unten rechts KachelX + 1 25712 KachelY + 1 24952 1.78862160 -1.18867571 102.480469 -68.106101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18860421--1.18867571) × R
    7.15000000000021e-05 × 6371000     		dl = 455.526500000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18860421--1.18867571) × R
    7.15000000000021e-05 × 6371000     		dr = 455.526500000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78842985-1.78862160) × cos(-1.18860421) × R
    0.000191749999999935 × 0.372955317921228 × 6371000     		do = 455.616854868646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78842985-1.78862160) × cos(-1.18867571) × R
    0.000191749999999935 × 0.372888975742732 × 6371000     		du = 455.535808659465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18860421)-sin(-1.18867571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372955317921228-0.372888975742732)×R²
    abs(1.78862160-1.78842985)×6.63421784961038e-05×R²
    0.000191749999999935×6.63421784961038e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.63421784961038e-05×40589641000000     		ar = 207527.091979429m²