Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2571 / 602
↖ ↑ ↗
← N 77.579959°
E 45.966797°		 ← 2 101.94 m → N 77.579959°
E 46.054687°		 →
↑
2 103.51 m
↓
↑
2 103.51 m
↓
N 77.561042°
E 45.966797°		 ← 2 105.10 m →
4 424 781 m²		 N 77.561042°
E 46.054687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6278076171875 y=0.1470947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6278076171875 × 212)
    floor (0.6278076171875 × 4096)
    floor (2571.5)     		tx = 2571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1470947265625 × 212)
    floor (0.1470947265625 × 4096)
    floor (602.5)     		ty = 602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2571 / 602 ti = "12/2571/602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2571/602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2571 ÷ 212
    2571 ÷ 4096     		x = 0.627685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 602 ÷ 212
    602 ÷ 4096     		y = 0.14697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627685546875 × 2 - 1) × π
    0.25537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80227195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14697265625 × 2 - 1) × π
    0.7060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21813621921924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80227195} λ = 0.80227195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21813621921924))-π/2
    2×atan(9.19018640129696)-π/2
    2×1.4624110237034-π/2
    2.9248220474068-1.57079632675     		φ = 1.35402572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80227195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.966797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35402572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.579959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2571 KachelY 602 0.80227195 1.35402572 45.966797 77.579959
    Oben rechts KachelX + 1 2572 KachelY 602 0.80380593 1.35402572 46.054687 77.579959
    Unten links KachelX 2571 KachelY + 1 603 0.80227195 1.35369555 45.966797 77.561042
    Unten rechts KachelX + 1 2572 KachelY + 1 603 0.80380593 1.35369555 46.054687 77.561042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35402572-1.35369555) × R
    0.000330170000000019 × 6371000     		dl = 2103.51307000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35402572-1.35369555) × R
    0.000330170000000019 × 6371000     		dr = 2103.51307000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80227195-0.80380593) × cos(1.35402572) × R
    0.00153398000000005 × 0.215076934011791 × 6371000     		do = 2101.94398976484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80227195-0.80380593) × cos(1.35369555) × R
    0.00153398000000005 × 0.215399365350259 × 6371000     		du = 2105.09510690866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35402572)-sin(1.35369555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215076934011791-0.215399365350259)×R²
    abs(0.80380593-0.80227195)×0.000322431338468432×R²
    0.00153398000000005×0.000322431338468432×6371000²
    0.00153398000000005×0.000322431338468432×40589641000000     		ar = 4424780.90311824m²