Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2571 / 1547
↖ ↑ ↗
← N 81.055714°
W123.508301°		 ← 379.86 m → N 81.055714°
W123.486328°		 →
↑
379.97 m
↓
↑
379.97 m
↓
N 81.052297°
W123.508301°		 ← 380 m →
144 360 m²		 N 81.052297°
W123.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156951904296875 y=0.094451904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156951904296875 × 214)
    floor (0.156951904296875 × 16384)
    floor (2571.5)     		tx = 2571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.094451904296875 × 214)
    floor (0.094451904296875 × 16384)
    floor (1547.5)     		ty = 1547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2571 / 1547 ti = "14/2571/1547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2571/1547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2571 ÷ 214
    2571 ÷ 16384     		x = 0.15692138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1547 ÷ 214
    1547 ÷ 16384     		y = 0.09442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15692138671875 × 2 - 1) × π
    -0.6861572265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15562650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09442138671875 × 2 - 1) × π
    0.8111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54832558380218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15562650} λ = -2.15562650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54832558380218))-π/2
    2×atan(12.7856773040697)-π/2
    2×1.49274270774776-π/2
    2.98548541549553-1.57079632675     		φ = 1.41468909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15562650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41468909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.055714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2571 KachelY 1547 -2.15562650 1.41468909 -123.508301 81.055714
    Oben rechts KachelX + 1 2572 KachelY 1547 -2.15524301 1.41468909 -123.486328 81.055714
    Unten links KachelX 2571 KachelY + 1 1548 -2.15562650 1.41462945 -123.508301 81.052297
    Unten rechts KachelX + 1 2572 KachelY + 1 1548 -2.15524301 1.41462945 -123.486328 81.052297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41468909-1.41462945) × R
    5.96399999999164e-05 × 6371000     		dl = 379.966439999468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41468909-1.41462945) × R
    5.96399999999164e-05 × 6371000     		dr = 379.966439999468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15562650--2.15524301) × cos(1.41468909) × R
    0.000383489999999931 × 0.155473967155339 × 6371000     		do = 379.85629601383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15562650--2.15524301) × cos(1.41462945) × R
    0.000383489999999931 × 0.155532881655793 × 6371000     		du = 380.000236792685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41468909)-sin(1.41462945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155473967155339-0.155532881655793)×R²
    abs(-2.15524301--2.15562650)×5.89145004543656e-05×R²
    0.000383489999999931×5.89145004543656e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.89145004543656e-05×40589641000000     		ar = 144359.99088434m²