Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25709 / 24952
↖ ↑ ↗
← S 68.106101°
E102.447510°		 ← 455.51 m → S 68.106101°
E102.458496°		 →
↑
455.53 m
↓
↑
455.53 m
↓
S 68.110198°
E102.447510°		 ← 455.43 m →
207 479 m²		 S 68.110198°
E102.458496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784591674804688 y=0.761489868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784591674804688 × 215)
    floor (0.784591674804688 × 32768)
    floor (25709.5)     		tx = 25709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761489868164062 × 215)
    floor (0.761489868164062 × 32768)
    floor (24952.5)     		ty = 24952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25709 / 24952 ti = "15/25709/24952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25709/24952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25709 ÷ 215
    25709 ÷ 32768     		x = 0.784576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24952 ÷ 215
    24952 ÷ 32768     		y = 0.761474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784576416015625 × 2 - 1) × π
    0.56915283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78804636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.52294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64289342377856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78804636} λ = 1.78804636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64289342377856))-π/2
    2×atan(0.193419587032253)-π/2
    2×0.191060307304475-π/2
    0.382120614608949-1.57079632675     		φ = -1.18867571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78804636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.447510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18867571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.106101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25709 KachelY 24952 1.78804636 -1.18867571 102.447510 -68.106101
    Oben rechts KachelX + 1 25710 KachelY 24952 1.78823810 -1.18867571 102.458496 -68.106101
    Unten links KachelX 25709 KachelY + 1 24953 1.78804636 -1.18874721 102.447510 -68.110198
    Unten rechts KachelX + 1 25710 KachelY + 1 24953 1.78823810 -1.18874721 102.458496 -68.110198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18867571--1.18874721) × R
    7.15000000000021e-05 × 6371000     		dl = 455.526500000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18867571--1.18874721) × R
    7.15000000000021e-05 × 6371000     		dr = 455.526500000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78804636-1.78823810) × cos(-1.18867571) × R
    0.000191739999999996 × 0.372888975742732 × 6371000     		do = 455.512051902965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78804636-1.78823810) × cos(-1.18874721) × R
    0.000191739999999996 × 0.372822631657934 × 6371000     		du = 455.431007591752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18867571)-sin(-1.18874721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372888975742732-0.372822631657934)×R²
    abs(1.78823810-1.78804636)×6.63440847977204e-05×R²
    0.000191739999999996×6.63440847977204e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.63440847977204e-05×40589641000000     		ar = 207479.351883673m²