Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25708 / 24097
↖ ↑ ↗
← S 64.325632°
E102.436524°		 ← 529.28 m → S 64.325632°
E102.447510°		 →
↑
529.24 m
↓
↑
529.24 m
↓
S 64.330391°
E102.436524°		 ← 529.19 m →
280 093 m²		 S 64.330391°
E102.447510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784561157226562 y=0.735397338867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784561157226562 × 215)
    floor (0.784561157226562 × 32768)
    floor (25708.5)     		tx = 25708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735397338867188 × 215)
    floor (0.735397338867188 × 32768)
    floor (24097.5)     		ty = 24097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25708 / 24097 ti = "15/25708/24097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25708/24097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25708 ÷ 215
    25708 ÷ 32768     		x = 0.7845458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24097 ÷ 215
    24097 ÷ 32768     		y = 0.735382080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7845458984375 × 2 - 1) × π
    0.569091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78785461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735382080078125 × 2 - 1) × π
    -0.47076416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47894922707797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78785461} λ = 1.78785461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47894922707797))-π/2
    2×atan(0.227877009616915)-π/2
    2×0.224051128513845-π/2
    0.448102257027689-1.57079632675     		φ = -1.12269407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78785461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.436524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12269407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.325632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25708 KachelY 24097 1.78785461 -1.12269407 102.436524 -64.325632
    Oben rechts KachelX + 1 25709 KachelY 24097 1.78804636 -1.12269407 102.447510 -64.325632
    Unten links KachelX 25708 KachelY + 1 24098 1.78785461 -1.12277714 102.436524 -64.330391
    Unten rechts KachelX + 1 25709 KachelY + 1 24098 1.78804636 -1.12277714 102.447510 -64.330391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12269407--1.12277714) × R
    8.30699999998519e-05 × 6371000     		dl = 529.238969999056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12269407--1.12277714) × R
    8.30699999998519e-05 × 6371000     		dr = 529.238969999056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78785461-1.78804636) × cos(-1.12269407) × R
    0.000191750000000157 × 0.433255934518314 × 6371000     		do = 529.282454903436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78785461-1.78804636) × cos(-1.12277714) × R
    0.000191750000000157 × 0.433181064447103 × 6371000     		du = 529.190990685794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12269407)-sin(-1.12277714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433255934518314-0.433181064447103)×R²
    abs(1.78804636-1.78785461)×7.48700712110417e-05×R²
    0.000191750000000157×7.48700712110417e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.48700712110417e-05×40589641000000     		ar = 280092.698218985m²