Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25707 / 24586
↖ ↑ ↗
← S 66.557006°
E102.425537°		 ← 486.01 m → S 66.557006°
E102.436524°		 →
↑
485.98 m
↓
↑
485.98 m
↓
S 66.561377°
E102.425537°		 ← 485.93 m →
236 172 m²		 S 66.561377°
E102.436524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784530639648438 y=0.750320434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784530639648438 × 215)
    floor (0.784530639648438 × 32768)
    floor (25707.5)     		tx = 25707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750320434570312 × 215)
    floor (0.750320434570312 × 32768)
    floor (24586.5)     		ty = 24586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25707 / 24586 ti = "15/25707/24586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25707/24586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25707 ÷ 215
    25707 ÷ 32768     		x = 0.784515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24586 ÷ 215
    24586 ÷ 32768     		y = 0.75030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784515380859375 × 2 - 1) × π
    0.56903076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78766286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75030517578125 × 2 - 1) × π
    -0.5006103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5727138027348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78766286} λ = 1.78766286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5727138027348))-π/2
    2×atan(0.207481354177442)-π/2
    2×0.204578711353177-π/2
    0.409157422706354-1.57079632675     		φ = -1.16163890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78766286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.425537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16163890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.557006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25707 KachelY 24586 1.78766286 -1.16163890 102.425537 -66.557006
    Oben rechts KachelX + 1 25708 KachelY 24586 1.78785461 -1.16163890 102.436524 -66.557006
    Unten links KachelX 25707 KachelY + 1 24587 1.78766286 -1.16171518 102.425537 -66.561377
    Unten rechts KachelX + 1 25708 KachelY + 1 24587 1.78785461 -1.16171518 102.436524 -66.561377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16163890--1.16171518) × R
    7.62800000000396e-05 × 6371000     		dl = 485.979880000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16163890--1.16171518) × R
    7.62800000000396e-05 × 6371000     		dr = 485.979880000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78766286-1.78785461) × cos(-1.16163890) × R
    0.000191749999999935 × 0.397836445152434 × 6371000     		do = 486.012616478521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78766286-1.78785461) × cos(-1.16171518) × R
    0.000191749999999935 × 0.397766460424327 × 6371000     		du = 485.927120387765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16163890)-sin(-1.16171518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397836445152434-0.397766460424327)×R²
    abs(1.78785461-1.78766286)×6.99847281072641e-05×R²
    0.000191749999999935×6.99847281072641e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.99847281072641e-05×40589641000000     		ar = 236171.578459148m²