Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2570 / 603
↖ ↑ ↗
← N 77.561042°
E 45.878906°		 ← 2 105.10 m → N 77.561042°
E 45.966797°		 →
↑
2 106.70 m
↓
↑
2 106.70 m
↓
N 77.542096°
E 45.878906°		 ← 2 108.25 m →
4 438 125 m²		 N 77.542096°
E 45.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6275634765625 y=0.1473388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6275634765625 × 212)
    floor (0.6275634765625 × 4096)
    floor (2570.5)     		tx = 2570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1473388671875 × 212)
    floor (0.1473388671875 × 4096)
    floor (603.5)     		ty = 603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2570 / 603 ti = "12/2570/603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2570/603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2570 ÷ 212
    2570 ÷ 4096     		x = 0.62744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 603 ÷ 212
    603 ÷ 4096     		y = 0.147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62744140625 × 2 - 1) × π
    0.2548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80073797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147216796875 × 2 - 1) × π
    0.70556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2166022384314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80073797} λ = 0.80073797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2166022384314))-π/2
    2×atan(9.17609963909427)-π/2
    2×1.4622459381396-π/2
    2.9244918762792-1.57079632675     		φ = 1.35369555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80073797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35369555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.561042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2570 KachelY 603 0.80073797 1.35369555 45.878906 77.561042
    Oben rechts KachelX + 1 2571 KachelY 603 0.80227195 1.35369555 45.966797 77.561042
    Unten links KachelX 2570 KachelY + 1 604 0.80073797 1.35336488 45.878906 77.542096
    Unten rechts KachelX + 1 2571 KachelY + 1 604 0.80227195 1.35336488 45.966797 77.542096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35369555-1.35336488) × R
    0.000330670000000088 × 6371000     		dl = 2106.69857000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35369555-1.35336488) × R
    0.000330670000000088 × 6371000     		dr = 2106.69857000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80073797-0.80227195) × cos(1.35369555) × R
    0.00153397999999993 × 0.215399365350259 × 6371000     		do = 2105.09510690851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80073797-0.80227195) × cos(1.35336488) × R
    0.00153397999999993 × 0.215722261434972 × 6371000     		du = 2108.25076601114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35369555)-sin(1.35336488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215399365350259-0.215722261434972)×R²
    abs(0.80227195-0.80073797)×0.000322896084712698×R²
    0.00153397999999993×0.000322896084712698×6371000²
    0.00153397999999993×0.000322896084712698×40589641000000     		ar = 4438124.90314272m²