Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 257 / 139
↖ ↑ ↗
← N 63.233628°
E  0.703125°		 ← 35.210 km → N 63.233628°
E  1.406250°		 →
↑
35.404 km
↓
↑
35.404 km
↓
N 62.915233°
E  0.703125°		 ← 35.598 km →
1 253.44 km²		 N 62.915233°
E  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5029296875 y=0.2724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5029296875 × 29)
    floor (0.5029296875 × 512)
    floor (257.5)     		tx = 257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2724609375 × 29)
    floor (0.2724609375 × 512)
    floor (139.5)     		ty = 139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 257 / 139 ti = "9/257/139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/257/139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 257 ÷ 29
    257 ÷ 512     		x = 0.501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 139 ÷ 29
    139 ÷ 512     		y = 0.271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501953125 × 2 - 1) × π
    0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271484375 × 2 - 1) × π
    0.45703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43580601741992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01227185} λ = 0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43580601741992))-π/2
    2×atan(4.20303136036834)-π/2
    2×1.33721566155042-π/2
    2.67443132310084-1.57079632675     		φ = 1.10363500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10363500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.233628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 257 KachelY 139 0.01227185 1.10363500 0.703125 63.233628
    Oben rechts KachelX + 1 258 KachelY 139 0.02454369 1.10363500 1.406250 63.233628
    Unten links KachelX 257 KachelY + 1 140 0.01227185 1.09807797 0.703125 62.915233
    Unten rechts KachelX + 1 258 KachelY + 1 140 0.02454369 1.09807797 1.406250 62.915233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10363500-1.09807797) × R
    0.00555702999999985 × 6371000     		dl = 35403.8381299991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10363500-1.09807797) × R
    0.00555702999999985 × 6371000     		dr = 35403.8381299991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01227185-0.02454369) × cos(1.10363500) × R
    0.01227184 × 0.450353593075369 × 6371000     		do = 35210.3969710429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01227185-0.02454369) × cos(1.09807797) × R
    0.01227184 × 0.455308209816203 × 6371000     		du = 35597.7681943806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10363500)-sin(1.09807797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450353593075369-0.455308209816203)×R²
    abs(0.02454369-0.01227185)×0.00495461674083425×R²
    0.01227184×0.00495461674083425×6371000²
    0.01227184×0.00495461674083425×40589641000000     		ar = 1253443634.49024m²