Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25698 / 24858
↖ ↑ ↗
← S 67.717778°
E102.326660°		 ← 463.21 m → S 67.717778°
E102.337646°		 →
↑
463.17 m
↓
↑
463.17 m
↓
S 67.721944°
E102.326660°		 ← 463.13 m →
214 526 m²		 S 67.721944°
E102.337646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784255981445312 y=0.758621215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784255981445312 × 215)
    floor (0.784255981445312 × 32768)
    floor (25698.5)     		tx = 25698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758621215820312 × 215)
    floor (0.758621215820312 × 32768)
    floor (24858.5)     		ty = 24858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25698 / 24858 ti = "15/25698/24858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25698/24858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25698 ÷ 215
    25698 ÷ 32768     		x = 0.78424072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24858 ÷ 215
    24858 ÷ 32768     		y = 0.75860595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78424072265625 × 2 - 1) × π
    0.5684814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78593713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75860595703125 × 2 - 1) × π
    -0.5172119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62486914952142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78593713} λ = 1.78593713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62486914952142))-π/2
    2×atan(0.196937442876951)-π/2
    2×0.194449066560471-π/2
    0.388898133120941-1.57079632675     		φ = -1.18189819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78593713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.326660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18189819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.717778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25698 KachelY 24858 1.78593713 -1.18189819 102.326660 -67.717778
    Oben rechts KachelX + 1 25699 KachelY 24858 1.78612888 -1.18189819 102.337646 -67.717778
    Unten links KachelX 25698 KachelY + 1 24859 1.78593713 -1.18197089 102.326660 -67.721944
    Unten rechts KachelX + 1 25699 KachelY + 1 24859 1.78612888 -1.18197089 102.337646 -67.721944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18189819--1.18197089) × R
    7.27000000000366e-05 × 6371000     		dl = 463.171700000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18189819--1.18197089) × R
    7.27000000000366e-05 × 6371000     		dr = 463.171700000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78593713-1.78612888) × cos(-1.18189819) × R
    0.000191749999999935 × 0.379169061274424 × 6371000     		do = 463.207807638335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78593713-1.78612888) × cos(-1.18197089) × R
    0.000191749999999935 × 0.379101788969481 × 6371000     		du = 463.125625150179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18189819)-sin(-1.18197089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379169061274424-0.379101788969481)×R²
    abs(1.78612888-1.78593713)×6.72723049428003e-05×R²
    0.000191749999999935×6.72723049428003e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.72723049428003e-05×40589641000000     		ar = 214525.715510332m²