Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25696 / 24079
↖ ↑ ↗
← S 64.239821°
E102.304688°		 ← 530.90 m → S 64.239821°
E102.315674°		 →
↑
530.90 m
↓
↑
530.90 m
↓
S 64.244595°
E102.304688°		 ← 530.81 m →
281 830 m²		 S 64.244595°
E102.315674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784194946289062 y=0.734848022460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784194946289062 × 215)
    floor (0.784194946289062 × 32768)
    floor (25696.5)     		tx = 25696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734848022460938 × 215)
    floor (0.734848022460938 × 32768)
    floor (24079.5)     		ty = 24079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25696 / 24079 ti = "15/25696/24079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25696/24079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25696 ÷ 215
    25696 ÷ 32768     		x = 0.7841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24079 ÷ 215
    24079 ÷ 32768     		y = 0.734832763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7841796875 × 2 - 1) × π
    0.568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78555364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734832763671875 × 2 - 1) × π
    -0.46966552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47549777030533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78555364} λ = 1.78555364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47549777030533))-π/2
    2×atan(0.228664876126563)-π/2
    2×0.224799974412394-π/2
    0.449599948824788-1.57079632675     		φ = -1.12119638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78555364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.304688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12119638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.239821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25696 KachelY 24079 1.78555364 -1.12119638 102.304688 -64.239821
    Oben rechts KachelX + 1 25697 KachelY 24079 1.78574538 -1.12119638 102.315674 -64.239821
    Unten links KachelX 25696 KachelY + 1 24080 1.78555364 -1.12127971 102.304688 -64.244595
    Unten rechts KachelX + 1 25697 KachelY + 1 24080 1.78574538 -1.12127971 102.315674 -64.244595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12119638--1.12127971) × R
    8.33300000000481e-05 × 6371000     		dl = 530.895430000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12119638--1.12127971) × R
    8.33300000000481e-05 × 6371000     		dr = 530.895430000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78555364-1.78574538) × cos(-1.12119638) × R
    0.000191739999999996 × 0.434605272565017 × 6371000     		do = 530.903170520446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78555364-1.78574538) × cos(-1.12127971) × R
    0.000191739999999996 × 0.434530222304944 × 6371000     		du = 530.811490958471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12119638)-sin(-1.12127971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434605272565017-0.434530222304944)×R²
    abs(1.78574538-1.78555364)×7.50502600724845e-05×R²
    0.000191739999999996×7.50502600724845e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.50502600724845e-05×40589641000000     		ar = 281829.73103494m²