Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25695 / 24096
↖ ↑ ↗
← S 64.320872°
E102.293701°		 ← 529.37 m → S 64.320872°
E102.304688°		 →
↑
529.30 m
↓
↑
529.30 m
↓
S 64.325632°
E102.293701°		 ← 529.28 m →
280 175 m²		 S 64.325632°
E102.304688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784164428710938 y=0.735366821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784164428710938 × 215)
    floor (0.784164428710938 × 32768)
    floor (25695.5)     		tx = 25695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735366821289062 × 215)
    floor (0.735366821289062 × 32768)
    floor (24096.5)     		ty = 24096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25695 / 24096 ti = "15/25695/24096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25695/24096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25695 ÷ 215
    25695 ÷ 32768     		x = 0.784149169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24096 ÷ 215
    24096 ÷ 32768     		y = 0.7353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784149169921875 × 2 - 1) × π
    0.56829833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78536189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7353515625 × 2 - 1) × π
    -0.470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47875747947949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78536189} λ = 1.78536189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47875747947949))-π/2
    2×atan(0.227920708675719)-π/2
    2×0.224092669995727-π/2
    0.448185339991453-1.57079632675     		φ = -1.12261099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78536189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.293701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12261099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.320872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25695 KachelY 24096 1.78536189 -1.12261099 102.293701 -64.320872
    Oben rechts KachelX + 1 25696 KachelY 24096 1.78555364 -1.12261099 102.304688 -64.320872
    Unten links KachelX 25695 KachelY + 1 24097 1.78536189 -1.12269407 102.293701 -64.325632
    Unten rechts KachelX + 1 25696 KachelY + 1 24097 1.78555364 -1.12269407 102.304688 -64.325632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12261099--1.12269407) × R
    8.30800000000131e-05 × 6371000     		dl = 529.302680000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12261099--1.12269407) × R
    8.30800000000131e-05 × 6371000     		dr = 529.302680000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78536189-1.78555364) × cos(-1.12261099) × R
    0.000191750000000157 × 0.433330810612138 × 6371000     		do = 529.373926478538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78536189-1.78555364) × cos(-1.12269407) × R
    0.000191750000000157 × 0.433255934518314 × 6371000     		du = 529.282454903436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12261099)-sin(-1.12269407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433330810612138-0.433255934518314)×R²
    abs(1.78555364-1.78536189)×7.48760938238391e-05×R²
    0.000191750000000157×7.48760938238391e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.48760938238391e-05×40589641000000     		ar = 280174.830092965m²