Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25694 / 24859
↖ ↑ ↗
← S 67.721944°
E102.282715°		 ← 463.13 m → S 67.721944°
E102.293701°		 →
↑
463.11 m
↓
↑
463.11 m
↓
S 67.726108°
E102.282715°		 ← 463.04 m →
214 458 m²		 S 67.726108°
E102.293701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784133911132812 y=0.758651733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784133911132812 × 215)
    floor (0.784133911132812 × 32768)
    floor (25694.5)     		tx = 25694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758651733398438 × 215)
    floor (0.758651733398438 × 32768)
    floor (24859.5)     		ty = 24859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25694 / 24859 ti = "15/25694/24859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25694/24859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25694 ÷ 215
    25694 ÷ 32768     		x = 0.78411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24859 ÷ 215
    24859 ÷ 32768     		y = 0.758636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78411865234375 × 2 - 1) × π
    0.5682373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78517014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758636474609375 × 2 - 1) × π
    -0.51727294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6250608971199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78517014} λ = 1.78517014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6250608971199))-π/2
    2×atan(0.196899684215411)-π/2
    2×0.194412717407168-π/2
    0.388825434814336-1.57079632675     		φ = -1.18197089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78517014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18197089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.721944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25694 KachelY 24859 1.78517014 -1.18197089 102.282715 -67.721944
    Oben rechts KachelX + 1 25695 KachelY 24859 1.78536189 -1.18197089 102.293701 -67.721944
    Unten links KachelX 25694 KachelY + 1 24860 1.78517014 -1.18204358 102.282715 -67.726108
    Unten rechts KachelX + 1 25695 KachelY + 1 24860 1.78536189 -1.18204358 102.293701 -67.726108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18197089--1.18204358) × R
    7.26899999998754e-05 × 6371000     		dl = 463.107989999206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18197089--1.18204358) × R
    7.26899999998754e-05 × 6371000     		dr = 463.107989999206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78517014-1.78536189) × cos(-1.18197089) × R
    0.000191749999999935 × 0.379101788969481 × 6371000     		do = 463.125625150179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78517014-1.78536189) × cos(-1.18204358) × R
    0.000191749999999935 × 0.379034523914701 × 6371000     		du = 463.043451519106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18197089)-sin(-1.18204358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379101788969481-0.379034523914701)×R²
    abs(1.78536189-1.78517014)×6.72650547801634e-05×R²
    0.000191749999999935×6.72650547801634e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.72650547801634e-05×40589641000000     		ar = 214458.149841843m²