Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25690 / 24861
↖ ↑ ↗
← S 67.730272°
E102.238769°		 ← 462.96 m → S 67.730272°
E102.249756°		 →
↑
462.92 m
↓
↑
462.92 m
↓
S 67.734435°
E102.238769°		 ← 462.88 m →
214 294 m²		 S 67.734435°
E102.249756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784011840820312 y=0.758712768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784011840820312 × 215)
    floor (0.784011840820312 × 32768)
    floor (25690.5)     		tx = 25690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758712768554688 × 215)
    floor (0.758712768554688 × 32768)
    floor (24861.5)     		ty = 24861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25690 / 24861 ti = "15/25690/24861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25690/24861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25690 ÷ 215
    25690 ÷ 32768     		x = 0.78399658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24861 ÷ 215
    24861 ÷ 32768     		y = 0.758697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78399658203125 × 2 - 1) × π
    0.5679931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78440315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758697509765625 × 2 - 1) × π
    -0.51739501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62544439231686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78440315} λ = 1.78440315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62544439231686))-π/2
    2×atan(0.196824188609258)-π/2
    2×0.194340038446685-π/2
    0.388680076893371-1.57079632675     		φ = -1.18211625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78440315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.238769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18211625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.730272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25690 KachelY 24861 1.78440315 -1.18211625 102.238769 -67.730272
    Oben rechts KachelX + 1 25691 KachelY 24861 1.78459490 -1.18211625 102.249756 -67.730272
    Unten links KachelX 25690 KachelY + 1 24862 1.78440315 -1.18218891 102.238769 -67.734435
    Unten rechts KachelX + 1 25691 KachelY + 1 24862 1.78459490 -1.18218891 102.249756 -67.734435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18211625--1.18218891) × R
    7.26600000000577e-05 × 6371000     		dl = 462.916860000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18211625--1.18218891) × R
    7.26600000000577e-05 × 6371000     		dr = 462.916860000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78440315-1.78459490) × cos(-1.18211625) × R
    0.000191750000000157 × 0.378967275365366 × 6371000     		do = 462.961298052269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78440315-1.78459490) × cos(-1.18218891) × R
    0.000191750000000157 × 0.378900034069108 × 6371000     		du = 462.879153445539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18211625)-sin(-1.18218891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378967275365366-0.378900034069108)×R²
    abs(1.78459490-1.78440315)×6.72412962582358e-05×R²
    0.000191750000000157×6.72412962582358e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.72412962582358e-05×40589641000000     		ar = 214293.577428646m²