Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25686 / 24454
↖ ↑ ↗
← S 65.973325°
E102.194824°		 ← 497.40 m → S 65.973325°
E102.205811°		 →
↑
497.38 m
↓
↑
497.38 m
↓
S 65.977798°
E102.194824°		 ← 497.32 m →
247 380 m²		 S 65.977798°
E102.205811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783889770507812 y=0.746292114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783889770507812 × 215)
    floor (0.783889770507812 × 32768)
    floor (25686.5)     		tx = 25686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746292114257812 × 215)
    floor (0.746292114257812 × 32768)
    floor (24454.5)     		ty = 24454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25686 / 24454 ti = "15/25686/24454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25686/24454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25686 ÷ 215
    25686 ÷ 32768     		x = 0.78387451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24454 ÷ 215
    24454 ÷ 32768     		y = 0.74627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78387451171875 × 2 - 1) × π
    0.5677490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78363616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.4925537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54740311973541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78363616} λ = 1.78363616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54740311973541))-π/2
    2×atan(0.212799872698659)-π/2
    2×0.209672292073482-π/2
    0.419344584146965-1.57079632675     		φ = -1.15145174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78363616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.194824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15145174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.973325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25686 KachelY 24454 1.78363616 -1.15145174 102.194824 -65.973325
    Oben rechts KachelX + 1 25687 KachelY 24454 1.78382791 -1.15145174 102.205811 -65.973325
    Unten links KachelX 25686 KachelY + 1 24455 1.78363616 -1.15152981 102.194824 -65.977798
    Unten rechts KachelX + 1 25687 KachelY + 1 24455 1.78382791 -1.15152981 102.205811 -65.977798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15145174--1.15152981) × R
    7.80700000000412e-05 × 6371000     		dl = 497.383970000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15145174--1.15152981) × R
    7.80700000000412e-05 × 6371000     		dr = 497.383970000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78363616-1.78382791) × cos(-1.15145174) × R
    0.000191750000000157 × 0.407161914973395 × 6371000     		do = 497.40497643707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78363616-1.78382791) × cos(-1.15152981) × R
    0.000191750000000157 × 0.407090608030068 × 6371000     		du = 497.317865076304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15145174)-sin(-1.15152981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407161914973395-0.407090608030068)×R²
    abs(1.78382791-1.78363616)×7.13069433274094e-05×R²
    0.000191750000000157×7.13069433274094e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.13069433274094e-05×40589641000000     		ar = 247379.598106539m²