Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25685 / 24959
↖ ↑ ↗
← S 68.134760°
E102.183838°		 ← 454.97 m → S 68.134760°
E102.194824°		 →
↑
454.95 m
↓
↑
454.95 m
↓
S 68.138852°
E102.183838°		 ← 454.89 m →
206 971 m²		 S 68.138852°
E102.194824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783859252929688 y=0.761703491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783859252929688 × 215)
    floor (0.783859252929688 × 32768)
    floor (25685.5)     		tx = 25685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761703491210938 × 215)
    floor (0.761703491210938 × 32768)
    floor (24959.5)     		ty = 24959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25685 / 24959 ti = "15/25685/24959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25685/24959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25685 ÷ 215
    25685 ÷ 32768     		x = 0.783843994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24959 ÷ 215
    24959 ÷ 32768     		y = 0.761688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783843994140625 × 2 - 1) × π
    0.56768798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78344441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.52337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64423565696793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78344441} λ = 1.78344441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64423565696793))-π/2
    2×atan(0.193160146996529)-π/2
    2×0.19081021110715-π/2
    0.3816204222143-1.57079632675     		φ = -1.18917590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78344441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.183838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18917590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.134760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25685 KachelY 24959 1.78344441 -1.18917590 102.183838 -68.134760
    Oben rechts KachelX + 1 25686 KachelY 24959 1.78363616 -1.18917590 102.194824 -68.134760
    Unten links KachelX 25685 KachelY + 1 24960 1.78344441 -1.18924731 102.183838 -68.138852
    Unten rechts KachelX + 1 25686 KachelY + 1 24960 1.78363616 -1.18924731 102.194824 -68.138852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18917590--1.18924731) × R
    7.1410000000105e-05 × 6371000     		dl = 454.953110000669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18917590--1.18924731) × R
    7.1410000000105e-05 × 6371000     		dr = 454.953110000669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78344441-1.78363616) × cos(-1.18917590) × R
    0.000191749999999935 × 0.372424814835159 × 6371000     		do = 454.968771476458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78344441-1.78363616) × cos(-1.18924731) × R
    0.000191749999999935 × 0.372358540952008 × 6371000     		du = 454.887808699551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18917590)-sin(-1.18924731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372424814835159-0.372358540952008)×R²
    abs(1.78363616-1.78344441)×6.62738831502807e-05×R²
    0.000191749999999935×6.62738831502807e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.62738831502807e-05×40589641000000     		ar = 206971.040490565m²