Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25684 / 24455
↖ ↑ ↗
← S 65.977798°
E102.172852°		 ← 497.29 m → S 65.977798°
E102.183838°		 →
↑
497.26 m
↓
↑
497.26 m
↓
S 65.982270°
E102.172852°		 ← 497.20 m →
247 260 m²		 S 65.982270°
E102.183838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783828735351562 y=0.746322631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783828735351562 × 215)
    floor (0.783828735351562 × 32768)
    floor (25684.5)     		tx = 25684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746322631835938 × 215)
    floor (0.746322631835938 × 32768)
    floor (24455.5)     		ty = 24455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25684 / 24455 ti = "15/25684/24455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25684/24455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25684 ÷ 215
    25684 ÷ 32768     		x = 0.7838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24455 ÷ 215
    24455 ÷ 32768     		y = 0.746307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7838134765625 × 2 - 1) × π
    0.567626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78325267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.49261474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54759486733389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78325267} λ = 1.78325267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54759486733389))-π/2
    2×atan(0.212759072745884)-π/2
    2×0.209633259332136-π/2
    0.419266518664272-1.57079632675     		φ = -1.15152981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78325267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.172852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15152981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.977798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25684 KachelY 24455 1.78325267 -1.15152981 102.172852 -65.977798
    Oben rechts KachelX + 1 25685 KachelY 24455 1.78344441 -1.15152981 102.183838 -65.977798
    Unten links KachelX 25684 KachelY + 1 24456 1.78325267 -1.15160786 102.172852 -65.982270
    Unten rechts KachelX + 1 25685 KachelY + 1 24456 1.78344441 -1.15160786 102.183838 -65.982270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15152981--1.15160786) × R
    7.80499999999407e-05 × 6371000     		dl = 497.256549999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15152981--1.15160786) × R
    7.80499999999407e-05 × 6371000     		dr = 497.256549999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78325267-1.78344441) × cos(-1.15152981) × R
    0.000191739999999996 × 0.407090608030068 × 6371000     		do = 497.291929333248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78325267-1.78344441) × cos(-1.15160786) × R
    0.000191739999999996 × 0.407019316873945 × 6371000     		du = 497.20484180071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15152981)-sin(-1.15160786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407090608030068-0.407019316873945)×R²
    abs(1.78344441-1.78325267)×7.12911561229213e-05×R²
    0.000191739999999996×7.12911561229213e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.12911561229213e-05×40589641000000     		ar = 247260.016825603m²