Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25680 / 42192
↖ ↑ ↗
← S 45.890008°
W 38.935547°		 ← 425.13 m → S 45.890008°
W 38.930054°		 →
↑
425.14 m
↓
↑
425.14 m
↓
S 45.893832°
W 38.935547°		 ← 425.10 m →
180 733 m²		 S 45.893832°
W 38.930054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391853332519531 y=0.643806457519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391853332519531 × 216)
    floor (0.391853332519531 × 65536)
    floor (25680.5)     		tx = 25680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643806457519531 × 216)
    floor (0.643806457519531 × 65536)
    floor (42192.5)     		ty = 42192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25680 / 42192 ti = "16/25680/42192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25680/42192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25680 ÷ 216
    25680 ÷ 65536     		x = 0.391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42192 ÷ 216
    42192 ÷ 65536     		y = 0.643798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.391845703125 × 2 - 1) × π
    -0.21630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.67955349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643798828125 × 2 - 1) × π
    -0.28759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.903514684038818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67955349} λ = -0.67955349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903514684038818))-π/2
    2×atan(0.40514320408572)-π/2
    2×0.384932295338581-π/2
    0.769864590677162-1.57079632675     		φ = -0.80093174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67955349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.935547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80093174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.890008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25680 KachelY 42192 -0.67955349 -0.80093174 -38.935547 -45.890008
    Oben rechts KachelX + 1 25681 KachelY 42192 -0.67945762 -0.80093174 -38.930054 -45.890008
    Unten links KachelX 25680 KachelY + 1 42193 -0.67955349 -0.80099847 -38.935547 -45.893832
    Unten rechts KachelX + 1 25681 KachelY + 1 42193 -0.67945762 -0.80099847 -38.930054 -45.893832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80093174--0.80099847) × R
    6.67300000000148e-05 × 6371000     		dl = 425.136830000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80093174--0.80099847) × R
    6.67300000000148e-05 × 6371000     		dr = 425.136830000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67955349--0.67945762) × cos(-0.80093174) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.69603801766048 × 6371000     		do = 425.131508642056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67955349--0.67945762) × cos(-0.80099847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695990103641916 × 6371000     		du = 425.102243345506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80093174)-sin(-0.80099847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69603801766048-0.695990103641916)×R²
    abs(-0.67945762--0.67955349)×4.79140185634108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79140185634108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79140185634108e-05×40589641000000     		ar = 180732.841106789m²