Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25678 / 24958
↖ ↑ ↗
← S 68.130669°
E102.106934°		 ← 455.05 m → S 68.130669°
E102.117920°		 →
↑
454.95 m
↓
↑
454.95 m
↓
S 68.134760°
E102.106934°		 ← 454.97 m →
207 008 m²		 S 68.134760°
E102.117920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783645629882812 y=0.761672973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783645629882812 × 215)
    floor (0.783645629882812 × 32768)
    floor (25678.5)     		tx = 25678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761672973632812 × 215)
    floor (0.761672973632812 × 32768)
    floor (24958.5)     		ty = 24958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25678 / 24958 ti = "15/25678/24958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25678/24958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25678 ÷ 215
    25678 ÷ 32768     		x = 0.78363037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24958 ÷ 215
    24958 ÷ 32768     		y = 0.76165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78363037109375 × 2 - 1) × π
    0.5672607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78210218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76165771484375 × 2 - 1) × π
    -0.5233154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64404390936945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78210218} λ = 1.78210218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64404390936945))-π/2
    2×atan(0.193197188542038)-π/2
    2×0.190845920065819-π/2
    0.381691840131637-1.57079632675     		φ = -1.18910449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78210218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.106934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18910449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.130669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25678 KachelY 24958 1.78210218 -1.18910449 102.106934 -68.130669
    Oben rechts KachelX + 1 25679 KachelY 24958 1.78229393 -1.18910449 102.117920 -68.130669
    Unten links KachelX 25678 KachelY + 1 24959 1.78210218 -1.18917590 102.106934 -68.134760
    Unten rechts KachelX + 1 25679 KachelY + 1 24959 1.78229393 -1.18917590 102.117920 -68.134760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18910449--1.18917590) × R
    7.1409999999883e-05 × 6371000     		dl = 454.953109999254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18910449--1.18917590) × R
    7.1409999999883e-05 × 6371000     		dr = 454.953109999254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78210218-1.78229393) × cos(-1.18910449) × R
    0.000191749999999935 × 0.37249108681917 × 6371000     		do = 455.049731933302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78210218-1.78229393) × cos(-1.18917590) × R
    0.000191749999999935 × 0.372424814835159 × 6371000     		du = 454.968771476458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18910449)-sin(-1.18917590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37249108681917-0.372424814835159)×R²
    abs(1.78229393-1.78210218)×6.627198401149e-05×R²
    0.000191749999999935×6.627198401149e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.627198401149e-05×40589641000000     		ar = 207007.874229506m²