Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25674 / 24773
↖ ↑ ↗
← S 67.361014°
E102.062988°		 ← 470.24 m → S 67.361014°
E102.073975°		 →
↑
470.18 m
↓
↑
470.18 m
↓
S 67.365243°
E102.062988°		 ← 470.15 m →
221 077 m²		 S 67.365243°
E102.073975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783523559570312 y=0.756027221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783523559570312 × 215)
    floor (0.783523559570312 × 32768)
    floor (25674.5)     		tx = 25674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756027221679688 × 215)
    floor (0.756027221679688 × 32768)
    floor (24773.5)     		ty = 24773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25674 / 24773 ti = "15/25674/24773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25674/24773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25674 ÷ 215
    25674 ÷ 32768     		x = 0.78350830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24773 ÷ 215
    24773 ÷ 32768     		y = 0.756011962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78350830078125 × 2 - 1) × π
    0.5670166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78133519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756011962890625 × 2 - 1) × π
    -0.51202392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6085706036506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78133519} λ = 1.78133519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6085706036506))-π/2
    2×atan(0.200173537000904)-π/2
    2×0.197562416780768-π/2
    0.395124833561536-1.57079632675     		φ = -1.17567149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78133519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.062988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17567149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.361014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25674 KachelY 24773 1.78133519 -1.17567149 102.062988 -67.361014
    Oben rechts KachelX + 1 25675 KachelY 24773 1.78152694 -1.17567149 102.073975 -67.361014
    Unten links KachelX 25674 KachelY + 1 24774 1.78133519 -1.17574529 102.062988 -67.365243
    Unten rechts KachelX + 1 25675 KachelY + 1 24774 1.78152694 -1.17574529 102.073975 -67.365243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17567149--1.17574529) × R
    7.38000000000127e-05 × 6371000     		dl = 470.179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17567149--1.17574529) × R
    7.38000000000127e-05 × 6371000     		dr = 470.179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78133519-1.78152694) × cos(-1.17567149) × R
    0.000191749999999935 × 0.384923409742273 × 6371000     		do = 470.237545584833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78133519-1.78152694) × cos(-1.17574529) × R
    0.000191749999999935 × 0.384855295093405 × 6371000     		du = 470.154334056276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17567149)-sin(-1.17574529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384923409742273-0.384855295093405)×R²
    abs(1.78152694-1.78133519)×6.81146488678563e-05×R²
    0.000191749999999935×6.81146488678563e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.81146488678563e-05×40589641000000     		ar = 221076.633045642m²