Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25672 / 24632
↖ ↑ ↗
← S 66.757250°
E102.041015°		 ← 482.09 m → S 66.757250°
E102.052002°		 →
↑
482.03 m
↓
↑
482.03 m
↓
S 66.761585°
E102.041015°		 ← 482.01 m →
232 363 m²		 S 66.761585°
E102.052002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783462524414062 y=0.751724243164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783462524414062 × 215)
    floor (0.783462524414062 × 32768)
    floor (25672.5)     		tx = 25672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751724243164062 × 215)
    floor (0.751724243164062 × 32768)
    floor (24632.5)     		ty = 24632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25672 / 24632 ti = "15/25672/24632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25672/24632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25672 ÷ 215
    25672 ÷ 32768     		x = 0.783447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24632 ÷ 215
    24632 ÷ 32768     		y = 0.751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783447265625 × 2 - 1) × π
    0.56689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78095169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751708984375 × 2 - 1) × π
    -0.50341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58153419226489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78095169} λ = 1.78095169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58153419226489))-π/2
    2×atan(0.205659335085061)-π/2
    2×0.202831258751989-π/2
    0.405662517503978-1.57079632675     		φ = -1.16513381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78095169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.041015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16513381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.757250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25672 KachelY 24632 1.78095169 -1.16513381 102.041015 -66.757250
    Oben rechts KachelX + 1 25673 KachelY 24632 1.78114344 -1.16513381 102.052002 -66.757250
    Unten links KachelX 25672 KachelY + 1 24633 1.78095169 -1.16520947 102.041015 -66.761585
    Unten rechts KachelX + 1 25673 KachelY + 1 24633 1.78114344 -1.16520947 102.052002 -66.761585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16513381--1.16520947) × R
    7.56600000000329e-05 × 6371000     		dl = 482.02986000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16513381--1.16520947) × R
    7.56600000000329e-05 × 6371000     		dr = 482.02986000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78095169-1.78114344) × cos(-1.16513381) × R
    0.000191749999999935 × 0.394627594627558 × 6371000     		do = 482.09255872995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78095169-1.78114344) × cos(-1.16520947) × R
    0.000191749999999935 × 0.394558073976597 × 6371000     		du = 482.007629574051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16513381)-sin(-1.16520947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394627594627558-0.394558073976597)×R²
    abs(1.78114344-1.78095169)×6.95206509609414e-05×R²
    0.000191749999999935×6.95206509609414e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.95206509609414e-05×40589641000000     		ar = 232362.539507939m²