Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25671 / 24795
↖ ↑ ↗
← S 67.453869°
E102.030029°		 ← 468.39 m → S 67.453869°
E102.041015°		 →
↑
468.40 m
↓
↑
468.40 m
↓
S 67.458082°
E102.030029°		 ← 468.30 m →
219 370 m²		 S 67.458082°
E102.041015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783432006835938 y=0.756698608398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783432006835938 × 215)
    floor (0.783432006835938 × 32768)
    floor (25671.5)     		tx = 25671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756698608398438 × 215)
    floor (0.756698608398438 × 32768)
    floor (24795.5)     		ty = 24795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25671 / 24795 ti = "15/25671/24795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25671/24795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25671 ÷ 215
    25671 ÷ 32768     		x = 0.783416748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24795 ÷ 215
    24795 ÷ 32768     		y = 0.756683349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783416748046875 × 2 - 1) × π
    0.56683349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78075995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756683349609375 × 2 - 1) × π
    -0.51336669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61278905081717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78075995} λ = 1.78075995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61278905081717))-π/2
    2×atan(0.199330894082826)-π/2
    2×0.196752106068557-π/2
    0.393504212137113-1.57079632675     		φ = -1.17729211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78075995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.030029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17729211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.453869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25671 KachelY 24795 1.78075995 -1.17729211 102.030029 -67.453869
    Oben rechts KachelX + 1 25672 KachelY 24795 1.78095169 -1.17729211 102.041015 -67.453869
    Unten links KachelX 25671 KachelY + 1 24796 1.78075995 -1.17736563 102.030029 -67.458082
    Unten rechts KachelX + 1 25672 KachelY + 1 24796 1.78095169 -1.17736563 102.041015 -67.458082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17729211--1.17736563) × R
    7.35199999999381e-05 × 6371000     		dl = 468.395919999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17729211--1.17736563) × R
    7.35199999999381e-05 × 6371000     		dr = 468.395919999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78075995-1.78095169) × cos(-1.17729211) × R
    0.000191739999999996 × 0.383427156085154 × 6371000     		do = 468.385235245376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78075995-1.78095169) × cos(-1.17736563) × R
    0.000191739999999996 × 0.383359254100134 × 6371000     		du = 468.302287841358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17729211)-sin(-1.17736563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383427156085154-0.383359254100134)×R²
    abs(1.78095169-1.78075995)×6.79019850202689e-05×R²
    0.000191739999999996×6.79019850202689e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.79019850202689e-05×40589641000000     		ar = 219370.307163049m²