Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25671 / 24456
↖ ↑ ↗
← S 65.982270°
E102.030029°		 ← 497.20 m → S 65.982270°
E102.041015°		 →
↑
497.19 m
↓
↑
497.19 m
↓
S 65.986741°
E102.030029°		 ← 497.12 m →
247 185 m²		 S 65.986741°
E102.041015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783432006835938 y=0.746353149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783432006835938 × 215)
    floor (0.783432006835938 × 32768)
    floor (25671.5)     		tx = 25671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746353149414062 × 215)
    floor (0.746353149414062 × 32768)
    floor (24456.5)     		ty = 24456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25671 / 24456 ti = "15/25671/24456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25671/24456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25671 ÷ 215
    25671 ÷ 32768     		x = 0.783416748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24456 ÷ 215
    24456 ÷ 32768     		y = 0.746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783416748046875 × 2 - 1) × π
    0.56683349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78075995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746337890625 × 2 - 1) × π
    -0.49267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54778661493237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78075995} λ = 1.78075995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54778661493237))-π/2
    2×atan(0.212718280615652)-π/2
    2×0.209594233426382-π/2
    0.419188466852763-1.57079632675     		φ = -1.15160786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78075995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.030029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15160786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.982270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25671 KachelY 24456 1.78075995 -1.15160786 102.030029 -65.982270
    Oben rechts KachelX + 1 25672 KachelY 24456 1.78095169 -1.15160786 102.041015 -65.982270
    Unten links KachelX 25671 KachelY + 1 24457 1.78075995 -1.15168590 102.030029 -65.986741
    Unten rechts KachelX + 1 25672 KachelY + 1 24457 1.78095169 -1.15168590 102.041015 -65.986741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15160786--1.15168590) × R
    7.80400000000014e-05 × 6371000     		dl = 497.192840000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15160786--1.15168590) × R
    7.80400000000014e-05 × 6371000     		dr = 497.192840000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78075995-1.78095169) × cos(-1.15160786) × R
    0.000191739999999996 × 0.407019316873945 × 6371000     		do = 497.20484180071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78075995-1.78095169) × cos(-1.15168590) × R
    0.000191739999999996 × 0.406948032372854 × 6371000     		du = 497.117762397796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15160786)-sin(-1.15168590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407019316873945-0.406948032372854)×R²
    abs(1.78095169-1.78075995)×7.12845010911178e-05×R²
    0.000191739999999996×7.12845010911178e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.12845010911178e-05×40589641000000     		ar = 247185.039854733m²