Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2567 / 1546
↖ ↑ ↗
← N 81.059130°
W123.596191°		 ← 379.71 m → N 81.059130°
W123.574219°		 →
↑
379.78 m
↓
↑
379.78 m
↓
N 81.055714°
W123.596191°		 ← 379.86 m →
144 233 m²		 N 81.055714°
W123.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156707763671875 y=0.094390869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156707763671875 × 214)
    floor (0.156707763671875 × 16384)
    floor (2567.5)     		tx = 2567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.094390869140625 × 214)
    floor (0.094390869140625 × 16384)
    floor (1546.5)     		ty = 1546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2567 / 1546 ti = "14/2567/1546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2567/1546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2567 ÷ 214
    2567 ÷ 16384     		x = 0.15667724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1546 ÷ 214
    1546 ÷ 16384     		y = 0.0943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15667724609375 × 2 - 1) × π
    -0.6866455078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15716048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0943603515625 × 2 - 1) × π
    0.811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54870907899915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15716048} λ = -2.15716048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54870907899915))-π/2
    2×atan(12.7905814902115)-π/2
    2×1.49277251386171-π/2
    2.98554502772342-1.57079632675     		φ = 1.41474870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15716048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.596191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41474870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.059130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2567 KachelY 1546 -2.15716048 1.41474870 -123.596191 81.059130
    Oben rechts KachelX + 1 2568 KachelY 1546 -2.15677699 1.41474870 -123.574219 81.059130
    Unten links KachelX 2567 KachelY + 1 1547 -2.15716048 1.41468909 -123.596191 81.055714
    Unten rechts KachelX + 1 2568 KachelY + 1 1547 -2.15677699 1.41468909 -123.574219 81.055714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41474870-1.41468909) × R
    5.96100000000988e-05 × 6371000     		dl = 379.775310000629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41474870-1.41468909) × R
    5.96100000000988e-05 × 6371000     		dr = 379.775310000629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15716048--2.15677699) × cos(1.41474870) × R
    0.000383489999999931 × 0.155415081737352 × 6371000     		do = 379.712426289689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15716048--2.15677699) × cos(1.41468909) × R
    0.000383489999999931 × 0.155473967155339 × 6371000     		du = 379.85629601383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41474870)-sin(1.41468909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155415081737352-0.155473967155339)×R²
    abs(-2.15677699--2.15716048)×5.88854179867648e-05×R²
    0.000383489999999931×5.88854179867648e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.88854179867648e-05×40589641000000     		ar = 144232.723532851m²