Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25668 / 24638
↖ ↑ ↗
← S 66.783249°
E101.997070°		 ← 481.58 m → S 66.783249°
E102.008057°		 →
↑
481.52 m
↓
↑
481.52 m
↓
S 66.787579°
E101.997070°		 ← 481.50 m →
231 872 m²		 S 66.787579°
E102.008057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783340454101562 y=0.751907348632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783340454101562 × 215)
    floor (0.783340454101562 × 32768)
    floor (25668.5)     		tx = 25668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751907348632812 × 215)
    floor (0.751907348632812 × 32768)
    floor (24638.5)     		ty = 24638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25668 / 24638 ti = "15/25668/24638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25668/24638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25668 ÷ 215
    25668 ÷ 32768     		x = 0.7833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24638 ÷ 215
    24638 ÷ 32768     		y = 0.75189208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7833251953125 × 2 - 1) × π
    0.566650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78018470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75189208984375 × 2 - 1) × π
    -0.5037841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58268467785577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78018470} λ = 1.78018470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58268467785577))-π/2
    2×atan(0.205422863038339)-π/2
    2×0.202604372022357-π/2
    0.405208744044713-1.57079632675     		φ = -1.16558758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78018470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16558758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.783249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25668 KachelY 24638 1.78018470 -1.16558758 101.997070 -66.783249
    Oben rechts KachelX + 1 25669 KachelY 24638 1.78037645 -1.16558758 102.008057 -66.783249
    Unten links KachelX 25668 KachelY + 1 24639 1.78018470 -1.16566316 101.997070 -66.787579
    Unten rechts KachelX + 1 25669 KachelY + 1 24639 1.78037645 -1.16566316 102.008057 -66.787579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16558758--1.16566316) × R
    7.5580000000075e-05 × 6371000     		dl = 481.520180000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16558758--1.16566316) × R
    7.5580000000075e-05 × 6371000     		dr = 481.520180000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78018470-1.78037645) × cos(-1.16558758) × R
    0.000191750000000157 × 0.394210611464249 × 6371000     		do = 481.583155731622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78018470-1.78037645) × cos(-1.16566316) × R
    0.000191750000000157 × 0.394141150797186 × 6371000     		du = 481.498299854405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16558758)-sin(-1.16566316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394210611464249-0.394141150797186)×R²
    abs(1.78037645-1.78018470)×6.94606670635367e-05×R²
    0.000191750000000157×6.94606670635367e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.94606670635367e-05×40589641000000     		ar = 231871.578035337m²