Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25663 / 24749
↖ ↑ ↗
← S 67.259305°
E101.942139°		 ← 472.21 m → S 67.259305°
E101.953125°		 →
↑
472.22 m
↓
↑
472.22 m
↓
S 67.263552°
E101.942139°		 ← 472.13 m →
222 968 m²		 S 67.263552°
E101.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783187866210938 y=0.755294799804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783187866210938 × 215)
    floor (0.783187866210938 × 32768)
    floor (25663.5)     		tx = 25663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755294799804688 × 215)
    floor (0.755294799804688 × 32768)
    floor (24749.5)     		ty = 24749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25663 / 24749 ti = "15/25663/24749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25663/24749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25663 ÷ 215
    25663 ÷ 32768     		x = 0.783172607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24749 ÷ 215
    24749 ÷ 32768     		y = 0.755279541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783172607421875 × 2 - 1) × π
    0.56634521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77922597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.51055908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60396866128708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77922597} λ = 1.77922597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60396866128708))-π/2
    2×atan(0.201096846961017)-π/2
    2×0.198449997583675-π/2
    0.396899995167351-1.57079632675     		φ = -1.17389633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77922597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.942139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17389633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.259305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25663 KachelY 24749 1.77922597 -1.17389633 101.942139 -67.259305
    Oben rechts KachelX + 1 25664 KachelY 24749 1.77941771 -1.17389633 101.953125 -67.259305
    Unten links KachelX 25663 KachelY + 1 24750 1.77922597 -1.17397045 101.942139 -67.263552
    Unten rechts KachelX + 1 25664 KachelY + 1 24750 1.77941771 -1.17397045 101.953125 -67.263552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17389633--1.17397045) × R
    7.41200000000664e-05 × 6371000     		dl = 472.218520000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17389633--1.17397045) × R
    7.41200000000664e-05 × 6371000     		dr = 472.218520000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77922597-1.77941771) × cos(-1.17389633) × R
    0.000191739999999996 × 0.386561183690874 × 6371000     		do = 472.213686710208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77922597-1.77941771) × cos(-1.17397045) × R
    0.000191739999999996 × 0.386492824438873 × 6371000     		du = 472.130180720032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17389633)-sin(-1.17397045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386561183690874-0.386492824438873)×R²
    abs(1.77941771-1.77922597)×6.83592520002718e-05×R²
    0.000191739999999996×6.83592520002718e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.83592520002718e-05×40589641000000     		ar = 222968.331826896m²