Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25659 / 24759
↖ ↑ ↗
← S 67.301737°
E101.898194°		 ← 471.38 m → S 67.301737°
E101.909179°		 →
↑
471.33 m
↓
↑
471.33 m
↓
S 67.305976°
E101.898194°		 ← 471.30 m →
222 154 m²		 S 67.305976°
E101.909179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783065795898438 y=0.755599975585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783065795898438 × 215)
    floor (0.783065795898438 × 32768)
    floor (25659.5)     		tx = 25659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755599975585938 × 215)
    floor (0.755599975585938 × 32768)
    floor (24759.5)     		ty = 24759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25659 / 24759 ti = "15/25659/24759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25659/24759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25659 ÷ 215
    25659 ÷ 32768     		x = 0.783050537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24759 ÷ 215
    24759 ÷ 32768     		y = 0.755584716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783050537109375 × 2 - 1) × π
    0.56610107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77845898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755584716796875 × 2 - 1) × π
    -0.51116943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60588613727188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77845898} λ = 1.77845898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60588613727188))-π/2
    2×atan(0.200711618037985)-π/2
    2×0.198079714230301-π/2
    0.396159428460603-1.57079632675     		φ = -1.17463690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77845898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.898194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17463690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.301737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25659 KachelY 24759 1.77845898 -1.17463690 101.898194 -67.301737
    Oben rechts KachelX + 1 25660 KachelY 24759 1.77865072 -1.17463690 101.909179 -67.301737
    Unten links KachelX 25659 KachelY + 1 24760 1.77845898 -1.17471088 101.898194 -67.305976
    Unten rechts KachelX + 1 25660 KachelY + 1 24760 1.77865072 -1.17471088 101.909179 -67.305976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17463690--1.17471088) × R
    7.3979999999807e-05 × 6371000     		dl = 471.32657999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17463690--1.17471088) × R
    7.3979999999807e-05 × 6371000     		dr = 471.32657999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77845898-1.77865072) × cos(-1.17463690) × R
    0.000191739999999996 × 0.385878076873686 × 6371000     		do = 471.379220131124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77845898-1.77865072) × cos(-1.17471088) × R
    0.000191739999999996 × 0.385809825584531 × 6371000     		du = 471.295846025719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17463690)-sin(-1.17471088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385878076873686-0.385809825584531)×R²
    abs(1.77865072-1.77845898)×6.82512891547749e-05×R²
    0.000191739999999996×6.82512891547749e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.82512891547749e-05×40589641000000     		ar = 222153.907591866m²